Теория:

Теорема 3. Если функция \(y=f(x)\) имеет экстремум в точке x=x0, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Теорема 4 (достаточные условия экстремума). Пусть функция y=f(x) непрерывна на промежутке \(X\) и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку x=x0. Тогда:

а) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x<x0 выполняется неравенство f(x)<0, а при x>x0 — неравенство f(x)>0, то x=x0 — точка минимума функции y=f(x));

б) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x<x0 выполняется неравенство f(x)>0, а при x>x0 — неравенство f(x)<0, то x=x0 — точка максимума функции y=f(x));

в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева, и справа от точки x0 знаки производной одинаковы, то в точке x0 экстремума нет.

Под \(стационарными\) точками, мы будем понимать, внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, а \(критические\) точки — это внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует.

Итак, чтобы определить экстремумы (минимумы и максимумы) функции f(x), сначала нужно найти критические точки, в которых  f(x)=0 или же производная не существует и принадлежат области определения функции. Тогда легко определить интервалы, в которых у производной неизменный знак. (Критические (стационарные) точки делят реальную числовую прямую на интервалы с неизменным знаком производной. Чтобы определить знак производной, достаточно вычислить значение производной функции в какой-либо точке соответственного интервала.)

Алгоритм исследования непрерывной функции y=f(x) на монотонность и экстремумы:

1. Найдём производную f(x).

2. Определим стационарные и критические точки.

3. Отметим стационарные и критические точки на числовой прямой и найдём знаки производной на получившихся промежутках.

4. Учитывая на теоремы \(1\), \(2\) и \(4\), определим монотонность функции и её точки экстремума.

Значит: если производная функции в критической точке

1) меняет знак с отрицательного на положительный, то это точка локального минимума;
2) меняет знак с положительного на отрицательный, то это точка локального максимума;
3) не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.
 
Пример:
найти экстремумы функции f(x)=x2x1.
Производная этой функции — f(x)=xx2(x1)2, значит, критические точки функции — это \(x=0\) и \(x=2\). Точка \(x=1\) не принадлежит области определения функции.
Они делят реальную числовую прямую на четыре интервала: ;00;11;22;+. Знак первого интервала положительный  (например, \(f(-1)=0.75\)). Второго — отрицательный, третьего — отрицательный, четвёртого — положительный.
;0
0;1
1;2
2;+
\(+\)
\(-\)
\(-\)
\(+\)
 
ekstremi.bmp
 
Значит, производная меняет знак только в точках \(x=0\) и \(x=2\).
В точке \(x=0\) она меняет знак с положительного на отрицательный, значит, это точка локального максимума со значением функции \(f(0)=0\).
В точке \(x=2\) она меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это точка локального минимума со значением функции \(f(2)=4\).