Теория:

Пример:
а) верно ли, что существует арифметическая прогрессия из простых чисел с разностью \(100\), состоящая не менее чем из трёх членов?
 
б) Верно ли, что не существует арифметическая прогрессия из простых чисел с разностью \(1000\), состоящая не менее чем из трёх членов?
 
в) Найди сумму членов всех арифметических прогрессий из простых чисел с разностью \(10\), состоящих не менее чем из трёх членов.
 
а) Если p — простое число, то из трёх чисел p, p+\(100\) и p+\(200\) одно всегда делится на \(3\), так как остаток от деления \(\)p\(\)+\(100\) на \(3\) равен остатку от деления \(\)p\(\)+\(1\) на \(3\), остаток от деления \(\)p\(\)+\(200\) на \(3\) равен остатку от деления \(\)p\(\)+\(2\) на \(3\).
 
Из трёх же последовательных целых чисел одно всегда делится на \(3\).
 
Если p=\(3\), то p+200=203=729 не является простым числом.
 
б) Аналогично рассуждениям из п. а получаем, что такой прогрессии тоже не существует, так как остаток от деления p+\(1000\) на \(3\) равен остатку от деления p\(\)+\(1\) на \(3\), остаток от деления p+\(2000\) на \(3\) равен остатку от деления p+\(2\) на \(3\).
 
Если p=\(3\), то 1003=1759 — число составное. 
 
в) Если рассматривать числа p, \(\)p\(\)+\(10\) и p+\(20\), то если они являются простыми, то одно из них, очевидно наименьшее, должно быть числом \(3\).
 
Итак, p=\(3\), p+\(10\)=\(13\) и p+\(20\)=\(23\).
 
Таким образом, существует только одна такая арифметическая прогрессия: \(3, 13, 23\).
 
Четырёх членов в такой прогрессии быть не может, так как
 
 p+\(30\)= \(33\) =311.
 
Сумма членов такой прогрессии равна \(3+13+23=39\).