Теория:

Пример:
известно, что целые числа a и b могут являться катетами прямоугольного треугольника, а c2 — его гипотенузой (c — тоже целое число).
 
а) Верно ли, что существует бесконечное множество таких троек чисел?
 
б) Верно ли, что одно из чисел a или b кратно числу \(7\)?
 
в) Чему равен \(НОД(\)a\(\)b\(;7)\), если \(НОД(\)a\(;\)b\()\)=\(1\)?
 
а) Для натуральных чисел  m и n можем рассмотреть числа a=m2n2, b=2mn, тогда
 
a2+b2=m2n22++2mn2=m42mn2++4mn2+n4=m2+n22.
 
То есть, a2+b2 является полным квадратом натурального числа.
Если справедливо равенство a2+b2=c4, то справедливо и равенство aс22+bс22=c8 и т. д.
 
То есть, таких чисел бесконечно много.
 
б) Если a2+b2=c4, то, например, 152+202=54. То есть, числа a и b в этом случае не кратны \(7\).
 
в) Если числа a и b взаимно просты, то предположим, что a=m2n2, b=2mn, где m и n — натуральные числа, а c2=m2+n2 (см. рассуждения в п. а).
 
Предположим, что b не делится на \(7\) и, значит, ни m, ни n на \(7\) не делится.
 
Квадрат числа, не делящегося на \(7\), даёт при делении на \(7\) в остатке \(1, 2\) или \(4\). Так как \(1+2, 1+4 ,2+4\) не совпадает ни с одним из указанных остатков и не кратно \(7\), то из равенства c2=m2+n2 следует, что числа m и n должны при делении на \(7\) давать одинаковые остатки, откуда следует, что a=m2n2 делится на \(7\). 
 
Поэтому \(НОД(\)ab; \(7\)\()\) \( =7\).