Теория:

Пример:
на доске записаны \(24\) последовательных числа, больших шести.
 
а) Верно ли, что среди этих чисел всегда найдётся по крайней мере одно число, имеющее хотя бы три различных простых делителя?
 
б) Верно ли, что среди каждых трёх подряд идущих чисел любой такой последовательности хотя бы одно имеет по крайней мере два различных простых делителя?
 
в) С какого наименьшего числа должна начинаться последовательность, чтобы среди каждых трёх подряд идущих чисел по крайней мере одно имело хотя бы два различных простых делителя?
 
а) Если k — натуральное число, то числа \(6(6\)k\(\)+\(1)\) и \(6(6\)k\( \)+\(5)\) имеют по крайней мере по три простых делителя.
 
Т. е., кроме \(2\) и \(3\), по крайней мере ещё по одному простому делителю (так как числа \(6\)k\(\)+\(1 > 1\) и \(6\)k\(\)+\(5 > 1\) не делятся ни на \(2\), ни на \(3\)).
 
Объединяя в одну последовательность две прогрессии \(36\)k\(\)+\( 6\) и \(36\)k\( \)+\(30 (\)k\(\)=\(1, 2...)\) и приписав к её началу число 30=235, получим бесконечную последовательность \(30, 42, 66, 78, 102... 36\)k\( \)+\( 6, 36\)k\( \)+\(30...\), где разность двух последовательных членов равна \(12\) или \(24\), и где каждый из членов имеет по крайней мере три различных простых делителя.
 
Поэтому среди \(24\)-х чисел на доске найдётся по крайней мере одно число, имеющее хотя бы три различных простых делителя.
 
б) Если последовательность на доске начинается с \(7\), то тройка \(7, 8, 9\) уже не содержит ни одного числа, имеющего по крайней  мере два различных делителя.
 
Поэтому ответ —  нет.
 
в) Предположим, что каждое из трёх натуральных чисел n, n + \(1\), n + \(2\), где n \(>7\), имеет только по одному простому делителю.
 
Тогда ни одно из этих чисел не делится на \(6\), и поэтому число n может быть только вида \(6\)k\(\)+\(1, 6\)k\( \)+\(2\) или \(6\)k\( \)+\( 3\), где k — натуральное число.
 
Если \(\)n\(\)=\( 6\)k\( \)+\( 1\), то число \(6\)k\( \)+\( 2\) как чётное и имеющее только один простой делитель должно быть вида 2m, где m — натуральное число, большее \(3\) (так как n\(>7\) и, значит, \(6\)k\( \)+\(2 \)=\(\)n\( \)+\( 1 > 8\)).
 
Число же \(\)n\(\)+\( 2 \)=\( 6\)k\(\)+\( 3\) как делящееся на \(3\) и имеющее только один простой делитель должно быть вида 3s, где \(s\) — натуральное число, большее \(2\) (так как \(6\)k\( \)+\(3 \)=\(\)n\( \)+\(2 > 9\)).
 
При этом должно выполняться соотношение 3s2m=1.
 
Это уравнение имеет в натуральных числах только два решения \(s=m=1;  s=2, m=3\).
 
Следовательно, случай \(\)n\(\)=\(6\)k\(\)+\(1\) невозможен.
 
Если \(\)n\(\)=\(6\)k\(\)+\(2\), то должно быть:
 
n+\(1\) = \(6\)k+\(3\)= 3sn+\(2\) =2m,
 
и 2m3s=1.
 
Но уравнение 2m3s=1 имеет в натуральных числах только одно решение \(m=2, s=1\).
 
Следовательно, случай  \(\)n\(\)=\( 6\)k\(\)+\(2\) невозможен.
 
Наконец, если \(\)n\(\)=\( 6 \)k\(\)+\(3\), то должно быть:
 
n=3s, n + \(1\)=2m и 2m3s=1 — что опять невозможно.
 
Получили, что, начиная с n= \(8\), в каждой тройке чисел хотя бы одно имеет по крайней мере два различных простых делителя.