20. Система диофантовых уравнений

а) Предположим, что наша система имеет решение в натуральных числах \(x, y,z,t\). Мы можем здесь предположить, что \(x\) и \(y\) взаимно просты, так как если бы был общий делитель \(d\), мы бы разделили обе части наших уравнений на $d^2$.

Итак, по крайней мере одно из чисел \(x\) и \(y\) является нечётным. Но нечётными не могут быть оба числа, так как тогда левые части наших уравнений при делении на \(4\) давали бы в остатке \(3\), что несовместимо с тем, что они являются квадратами. Однако если, например, \(x\) — чётное число, то \(y\) не может быть нечётным, так как тогда левая часть первого уравнения при делении на \(4\) давала бы в остатке \(2\), что несовместимо с тем, что она является квадратом. Таким образом, в любом случае получаем противоречие.

 

б) Как и в п. а будем считать, что \(x\) и \(y\) взаимно просты. Имеем систему

 

 

Складывая почленно наши уравнения, получим $6\left(x^2+y^2\right)=z^2+t^2$, откуда следует, что $z^2+t^2$ делится на \(3\). Так как квадрат целого числа, не делящегося на \(3\), даёт в остатке \(1\), то числа \(z\) и \(t\) не могут быть оба не делящимися на \(3\). Но так как  $z^2+t^2$ делится на \(3\), то если одно из чисел \(z\), \(t\) делится на \(3\), то и другое делится на \(3\).

Итак, оба числа \(z\) и \(t\) делятся на \(3\), и, следовательно, правая часть равенства $6\left(x^2+y^2\right)=z^2+t^2$ делится на \(9\). Но тогда $z^2+t^2$ делится на \(3\), и, значит, оба числа \(x\) и \(y\) делятся на \(3\) вопреки предположению, что эти числа взаимно просты.

 

в) Решением уравнений

 

 

в целых числах могут быть, например, числа \(x=3\), \(y=1\), \(z=4\), \(t=5\).