Теория:

Пример:
из трёх различных цифр получают шесть трёхзначных чисел, всевозможным образом переставляя эти цифры.
 
а) Верно ли, что среди этих шести чисел всегда найдутся три числа, сумма которых будет делиться на \(37\)?
 
б) Верно ли, что если два трёхзначных числа не делятся на \(37\), а сумма их делится на \(37\), то, приписав одно из этих чисел к другому, получим шестизначное число, не делящееся на \(37\)?
 
в) Пусть из полученных шести трёхзначных чисел число abc¯ делится на \(37\). Какие ещё числа из этого набора чисел будут делиться на \(37\)? 
(Числа записывай через запятую в формате abc).
а) Пусть a, b и c — три различные цифры, abc¯, bca¯, cab¯ — три числа из полученных шести трёхзначных чисел.
 
abc¯+bca¯+cab¯==100a+10b+c+100b+10c+a+100c+10a+b==111a+111b+111c==111(a+b+c)==373(a+b+c).
 
Ответ: да.
 
б) Пусть abc¯ и def¯ — два трёхзначных числа, не делящихся на \(37\), причём abc¯ \(+\) def¯ делится на \(37\).
 
abcdef¯=1000abc¯+def¯==999abc¯+abc¯+def¯==3727abc¯+(abc¯+def¯).
Так как сумма  abc¯ \(+\) def¯ делится на \(37\), то и abcdef¯ будет делиться на \(37\).
 
Ответ: нет.
 
в) Пусть abc¯ делится на \(37\). Рассмотрим вначале число A=10abc¯bca¯. 
 
Тогда
 
A=10abc¯bca¯==1000a+100b+10c100b10ca==999a=3727a.
 
Получили, что A делится на \(37\), значит и bca¯ делится на \(37\).
 
Рассмотрим теперь число B=10bca¯cab¯.
 
B=10bca¯cab¯==1000b+100c+10a100c10ab=999b=3727b.
 
Так как B делится на \(37\), то и cab¯ делится на \(37\).
 
Ответ: \(bca\), \(cab\).