Теория:

Пример:
а) верно ли, что меньше половины из десяти последовательных натуральных чисел —  простые?
 
б) Верно ли, что более четверти из ста последовательных натуральных чисел — простые?
 
в) Какое наибольшее количество чисел из ста последовательных натуральных чисел может быть простыми?
 
а) Пусть имеем последовательность натуральных чисел
 
k+1,k+2,k+3...k+10, где k0,k=0,1,2...
 
Утверждение неверно, так как при \(\)k\(=1\) последовательность будет содержать пять (т. е. половину) простых чисел: \(2, 3, 5, 7, 11.\)
 
б) Рассмотрим последовательность
 
k+1,k+2,k+3...k+100,
 
где k0,k=0,1,2...
 
Для  k\(=1\) составными будут \(49\) чётных чисел, \(16\) — нечётных, кратных \(3\), \(6\) — кратных \(5\), которые не делятся на \(2\) и \(3\), \(3\) — кратных семи, которые мы не подсчитали ранее. Всего \(74\) составных числа. Следовательно, простых чисел будет \(26\), что больше четверти.
 
в)  Для  k\(=0, 2, 3, 4\) количество простых чисел будет \(25\).
 
Рассмотрим для k5. Исходная последовательность содержит \(50\) чётных чисел, которые все составные. Среди \(50\) нечётных чисел есть по крайней мере \(16\) чисел, которые делятся на \(3\), тоже составных.
Подсчитаем теперь, сколько в исходной последовательности чисел, делящихся на \(5\), но не делящихся ни на \(2\), ни на \(3\). Таковыми являются числа вида \(30t+v\), где \(t\) — целое число 0, а \(v\) — одно из чисел \(5\) и \(25\). Составим из чисел этого вида последовательность:
 
\(5, 25, 35, 55, 65, 85, 95, 115, 125, 145, 155, 175, 185...  \)
— из которой видно, что в ней по крайней мере шесть чисел, делящихся на \(5\), которые для k5 являются составными.
Подсчитаем теперь, сколько в исходной последовательности чисел, делящихся на \(7\), но не делящихся ни на \(2\), ни на \(3\), ни на \(5\). Таковыми являются числа вида \(210t+v\), где \(t\) — целое число 0, а \(v\) — одно из чисел \(7, 49, 77, 91, 119, 133, 161, 203\).
Составим из чисел этого вида последовательность:
 
\(7, 49, 77, 91, 119, 133, 161, 203, 217, 259, 287...  \)
 
— из которой видно, что в ней по крайней мере три числа, делящихся на \(7\), но не делящихся на \(2\), \(3\), \(5\), которые для k7 являются составными.
Отсюда следует, что для k7 в исходной последовательности имеются по крайней мере \(50+16+6+3=75\) составных чисел и, следовательно, не более \(25\) простых. Это выполняется и для  k \(=5\) и k \(=\) \(6\). И только при k \(=1\) простых чисел \(26\).