6. Простые числа среди последовательных

а) Пусть имеем последовательность натуральных чисел

 

$k+\mathrm{1,}k+\mathrm{2,}k+3...k+10$, где $k\ge \mathrm{0,}k=\mathrm{0,}\mathrm{1,}2...$

 

Утверждение неверно, так как при \(\)$k$\(=1\) последовательность будет содержать пять (т. е. половину) простых чисел: \(2, 3, 5, 7, 11.\)

 

б) Рассмотрим последовательность

 

$k+\mathrm{1,}k+\mathrm{2,}k+3...k+100$,

 

где $k\ge \mathrm{0,}k=\mathrm{0,}\mathrm{1,}2...$

 

Для  $k$\(=1\) составными будут \(49\) чётных чисел, \(16\) — нечётных, кратных \(3\), \(6\) — кратных \(5\), которые не делятся на \(2\) и \(3\), \(3\) — кратных семи, которые мы не подсчитали ранее. Всего \(74\) составных числа. Следовательно, простых чисел будет \(26\), что больше четверти.

 

в)  Для  $k$\(=0, 2, 3, 4\) количество простых чисел будет \(25\).

 

Рассмотрим для $k\ge 5$. Исходная последовательность содержит \(50\) чётных чисел, которые все составные. Среди \(50\) нечётных чисел есть по крайней мере \(16\) чисел, которые делятся на \(3\), тоже составных.

Подсчитаем теперь, сколько в исходной последовательности чисел, делящихся на \(5\), но не делящихся ни на \(2\), ни на \(3\). Таковыми являются числа вида \(30t+v\), где \(t\) — целое число $\ge 0$, а \(v\) — одно из чисел \(5\) и \(25\). Составим из чисел этого вида последовательность:

 

\(5, 25, 35, 55, 65, 85, 95, 115, 125, 145, 155, 175, 185...  \)

— из которой видно, что в ней по крайней мере шесть чисел, делящихся на \(5\), которые для $k\ge 5$ являются составными.