Теория:
Пример:
а) верно ли, что меньше половины из десяти последовательных натуральных чисел — простые?
б) Верно ли, что более четверти из ста последовательных натуральных чисел — простые?
в) Какое наибольшее количество чисел из ста последовательных натуральных чисел может быть простыми?
а) Пусть имеем последовательность натуральных чисел
, где
Утверждение неверно, так как при \(\)\(=1\) последовательность будет содержать пять (т. е. половину) простых чисел: \(2, 3, 5, 7, 11.\)
б) Рассмотрим последовательность
,
где
Для \(=1\) составными будут \(49\) чётных чисел, \(16\) — нечётных, кратных \(3\), \(6\) — кратных \(5\), которые не делятся на \(2\) и \(3\), \(3\) — кратных семи, которые мы не подсчитали ранее. Всего \(74\) составных числа. Следовательно, простых чисел будет \(26\), что больше четверти.
в) Для \(=0, 2, 3, 4\) количество простых чисел будет \(25\).
Рассмотрим для . Исходная последовательность содержит \(50\) чётных чисел, которые все составные. Среди \(50\) нечётных чисел есть по крайней мере \(16\) чисел, которые делятся на \(3\), тоже составных.
Подсчитаем теперь, сколько в исходной последовательности чисел, делящихся на \(5\), но не делящихся ни на \(2\), ни на \(3\). Таковыми являются числа вида \(30t+v\), где \(t\) — целое число , а \(v\) — одно из чисел \(5\) и \(25\). Составим из чисел этого вида последовательность:
\(5, 25, 35, 55, 65, 85, 95, 115, 125, 145, 155, 175, 185... \)
— из которой видно, что в ней по крайней мере шесть чисел, делящихся на \(5\), которые для являются составными.
Подсчитаем теперь, сколько в исходной последовательности чисел, делящихся на \(7\), но не делящихся ни на \(2\), ни на \(3\), ни на \(5\). Таковыми являются числа вида \(210t+v\), где \(t\) — целое число , а \(v\) — одно из чисел \(7, 49, 77, 91, 119, 133, 161, 203\).
Составим из чисел этого вида последовательность:
\(7, 49, 77, 91, 119, 133, 161, 203, 217, 259, 287... \)
— из которой видно, что в ней по крайней мере три числа, делящихся на \(7\), но не делящихся на \(2\), \(3\), \(5\), которые для являются составными.
Отсюда следует, что для в исходной последовательности имеются по крайней мере \(50+16+6+3=75\) составных чисел и, следовательно, не более \(25\) простых. Это выполняется и для \(=5\) и \(=\) \(6\). И только при \(=1\) простых чисел \(26\).