Теория:
Пример:
пусть \(n\) — натуральное число, а число \(M\) является произведением трёх различных простых чисел.
а) Верно ли, что если , то произведение пяти наименьших таких \(n\) есть число чётное?
б) Верно ли, что если , то произведение десяти наименьших таких \(n\) есть число чётное?
в) Если , найти сумму пяти наименьших таких \(n\).
а) Перебором находим, что первое такое \(n=13\).
Действительно,
.
Последующие:
Все эти \(n\) — нечётные, следовательно и произведение их — нечётное число.
б) Очевидно, что \(n\) больше \(2\).
Так как при нечётном обе части равенства были бы чётными, то оказалось бы, что делится на \(4\).
При этом числа \(- 1\) и \(+ 1\), которые оба больше \(1\), так как \(> 2\), не могут быть оба составными, так как в этом случае не является произведением трёх различных простых чисел.
Следовательно, всегда чётное, и произведение десяти тоже чётное число.
в) Из п. б мы получили, что числа \(- 1\) и \(+ 1\) оба не являются составными, поэтому одно из них простое, а другое является произведением двух различных простых чисел.
Как мы выяснили, — чётное, \(> 2\).
Для \(=4, 6, 8, 10, 12\) условие для не выполняется.
При \(=14\) .
Это наименьшее такое .
Следующее \(=16\), .
не будет произведением трёх простых чисел, поэтому следующее \(=20\),
.
Четвёртое число даст произведение .
Рассуждая таким образом далее, легко найдём пятое \(=32\).
Сумма пяти наименьших равна \(104\).