Теория:

Пример:
пусть \(n\) — натуральное число, а число \(M\) является произведением трёх различных простых чисел.
а) Верно ли, что если M=n2+1, то произведение пяти наименьших таких \(n\) есть число чётное?
 
б)  Верно ли, что если M=n21, то произведение десяти наименьших таких \(n\) есть число чётное?
 
в) Если M=n21, найти сумму пяти наименьших таких \(n\).
 
а) Перебором находим, что первое такое \(n=13\).
 
Действительно, 
 
M=132+1=2517.
 
 Последующие:
 
n=17,M=172+1=2529,
 
n=21,M=212+1=21317,
 
n=23,M=232+1=2553,
 
n=27,M=272+1=2573.
 
Все эти \(n\) — нечётные, следовательно и произведение их — нечётное число.
 
б) Очевидно, что \(n\) больше \(2\).
 
Так как при нечётном  n обе части равенства n21=n1n+1 были бы чётными, то оказалось бы, что M=n21 делится на \(4\).
 
При этом числа n \(- 1\) и n \(+ 1\), которые оба больше \(1\), так как n \(> 2\), не могут быть оба составными, так как в этом случае M=n21 не является произведением трёх различных простых чисел.
 
Следовательно, n всегда чётное, и произведение десяти n тоже чётное число.
 
в) Из п. б мы получили, что числа n \(- 1\) и n \(+ 1\) оба не являются составными, поэтому одно из них простое, а другое является произведением двух различных простых чисел.
 
Как мы выяснили, n — чётное, n \(> 2\).
 
Для n \(=4, 6, 8, 10, 12\) условие для M=n21 не выполняется.
 
При n \(=14\)   M=1421=(141)(14+1)=1315=1353.
 
Это наименьшее такое n.
 
Следующее n \(=16\), M=1621=3517.
 
1719 не будет произведением трёх простых чисел, поэтому следующее n \(=20\),
M=2021=1937.
 
Четвёртое число даст произведение 2123=(221)(22+1)=2221.
 
Рассуждая таким образом далее, легко найдём пятое n \(=32\).
 
3133=(321)(32+1)==31311=3221.
 
Сумма пяти наименьших n равна \(104\).