9. Произведение трёх простых чисел

 

а) Перебором находим, что первое такое \(n=13\).

 

Действительно, 

 

$M={13}^2+1=2\cdot 5\cdot 17$.

 

 Последующие:

 

 

 

 

 

Все эти \(n\) — нечётные, следовательно и произведение их — нечётное число.

 

б) Очевидно, что \(n\) больше \(2\).

 

Так как при нечётном  $n$ обе части равенства $n^2-1=\left(n-1\right)\left(n+1\right)$ были бы чётными, то оказалось бы, что $M=n^2-1$ делится на \(4\).

 

При этом числа $n$ \(- 1\) и $n$ \(+ 1\), которые оба больше \(1\), так как $n$ \(> 2\), не могут быть оба составными, так как в этом случае $M=n^2-1$ не является произведением трёх различных простых чисел.

 

Следовательно, $n$ всегда чётное, и произведение десяти $n$ тоже чётное число.

 

в) Из п. б мы получили, что числа $n$ \(- 1\) и $n$ \(+ 1\) оба не являются составными, поэтому одно из них простое, а другое является произведением двух различных простых чисел.

 

Как мы выяснили, $n$ — чётное, $n$ \(> 2\).

 

Для $n$ \(=4, 6, 8, 10, 12\) условие для $M=n^2-1$ не выполняется.

 

При $n$ \(=14\)   $M={14}^2-1=(14-1)(14+1)=13\cdot 15=13\cdot 5\cdot 3$.

 

Это наименьшее такое $n$.

 

Следующее $n$ \(=16\), $M={16}^2-1=3\cdot 5\cdot 17$.

 

$17\cdot 19$ не будет произведением трёх простых чисел, поэтому следующее $n$ \(=20\),

$M={20}^2-1=19\cdot 3\cdot 7$.

 

Четвёртое число даст произведение $21\cdot 23=(22-1)(22+1)={22}^2-1$.

 

Рассуждая таким образом далее, легко найдём пятое $n$ \(=32\).

 

 

Сумма пяти наименьших $n$ равна \(104\).