Теория:

Пример:
из натурального ряда чисел выбирается отрезок из \(21\) числа.
 
а) Верно ли, что в этом отрезке более семи простых чисел?
 
б) Верно ли, что в этой последовательности всегда найдётся число, делящееся на \(5\), но не делящееся на \(2\) и \(3\)?
 
в) Найди сумму первых чисел из таких отрезков с наибольшим количеством простых чисел.
а) В последовательности, например, \(4, 5, 6... 25\) ровно \(7\) простых чисел.
 
б) Рассмотрим произвольный отрезок из \(30\) чисел.
 
Пусть γ означает остаток от деления числа \(x\) на \(30\).
 
Тогда \(x = 30t\) \(+\) γ, где \(t\) — целое число 0, а γ \(=0, 1... 29\).
 
Если γ5, то x30t+5<x+20, и число \(30t+5\) есть число последовательности \(x\),
  \(x+1... x+20\), делящееся на \(5\), но не делящееся ни на \(2\), ни на \(3\).
 
Если же 5<γ25, то x30t+25<x+20, и число \(30t+25\) есть число последовательности \(x,  x+1... x+20\), делящееся на \(5\), но не делящееся ни на \(2\), ни на \(3\).
 
Если, наконец, 25<γ<30, то x<30t+35<x+20, и число \(30t+35\) есть число последовательности \(x,  x+1... x+20\), делящееся на \(5\), но не делящееся ни на \(2\), ни на \(3\). 
 
То есть, в отрезок из \(21\) числа такое число обязательно попадёт.
 
в) В предыдущем пункте мы показали, что произвольный отрезок из \(21\) последовательного натурального числа содержит максимум семь простых.
 
Но есть последовательности \(x,  x+1... x+20\) с восемью простыми числами.
 
Очевидно, что это последовательности для \(x=1, 2, 3\).
 
Сумма первых членов \(1+2+3=6\).