Теория:

Пример:
известно, что число n2n+1 делится на \(3\), где n — натуральное число.
 
а) Может ли число n быть чётным?
 
б) Может ли остаток от деления n на \(3\) быть равен \(2\), если  n нечётное?
 
в) Чему равна сумма возможных остатков при делении n на \(6\)?
 
а) Чётное число n можно найти подбором. Например, n=\(8\).
 
б) Пусть n \(=\) \(3\)k\(+2\), где k \(= 0, 1, 2, 3...\)
  
n2n+1=3k+22n+1=3k2n+22n+1.
 
Значит, 22n+1 должно делиться на \(3\). Т. к. при нечётном n остаток от деления 2n на \(3\) равен \(2\), а при чётном — \(1\), то n — чётное.
 
в) Если n — чётное, то так как оно при делении на \(3\) даёт остаток \(2\) (см. п. б),
то его можно представить в виде \(6\)k \(+\) \(2\), где \(\)k\(\)=\(0, 1, 2, 3...\)
  
Поэтому при делении на \(6\) получим остаток \(2\). 
  
Для нечётных n остаток от деления на \(3\) будет \(1\). Тогда n можно представить в виде \(6\)k \(+\) \(1\), где k \(=0, 1, 2, 3...\)
  
Поэтому при делении на \(6\) получим остаток \(1\).  
  
Сумма возможных остатков равна \(3\).