Теория:

Пример:
пусть натуральные числа a и b имеют только по одному делителю, соответственно \(p\) и \(q\).
 
а) Могут ли числа a и b быть последовательными?
 
б) Верно ли, что если \(p<q\), то a \(<\) b?
 
в) Сколько существует таких пар точек \(\)A\((\)a\()\) и\(\)B\((\)b\()\) с минимальной длиной отрезка AB, если \(p=2\), \(q=3\)?
 
а) Могут. Например, 8=23 и 9=32.
 
б) Это утверждение неверно, так как в предыдущем варианте \(2<3\), а \(8<9\). В случае же 22>31, а \(2<3\).
 
в) Исходя из решения п. а, делаем вывод, что наименьшая длина такого отрезка равна \(1\).
Поэтому все эти случаи являются значениями a=2m и b=3n, где \(m\) и \(n\) — целочисленные решения уравнений 2m3n=1 и 3m2n=1.
 
Уравнение 2m3n=1 имеет только одно решение в натуральных числах: \(m=2\), \(n=1\). Действительно, так как остаток от деления 9=32 на \(8\) равен \(1\), то для натуральных \(k\) имеем: 32k+1 при делении на \(8\) даёт остаток \(2\) и 32k1+1 при делении на \(8\) даёт остаток \(4\), откуда следует, что при натуральном \(n\) число 3n+1 не делится на \(8\) и, значит, не делится на 2m для натурального m3. Таким образом, если при натуральных \(m\) и \(n\) имеем 2m3n=1, то должно быть m2, так что либо 213n=1, что невозможно, либо 223n=1, что даёт \(n=1\).
 
Уравнение 3m2n=1 имеет только два решения в натуральных числах: \(n=m=1\) и  \(n=2\), \(m=3\). Действительно, если \(n\) — нечётное число, большее \(1\), т. е. \(n=2k+1\), где \(k\) — натуральное число, то, так как остаток от деления 9=32 на \(4\) равен \(1\), имеем: 32k+1 при делении на \(4\) даёт остаток \(3\), откуда 2m=3n1=32k+1 при делении на \(4\) даёт остаток \(2\).
 
Следовательно, m1, т. е. \(m=1\), а так как 3m2n=1, то и \(n=1\).
 
Если же \(n\) — чётное число, \(n=2k\), то имеем
 
2m=32k1=3k13k+1.
 
Таким образом, два последовательных чётных числа 3k1 и 3k+1 являются степенями числа \(2\), и поэтому это числа \(2\) и \(4\), так что \(k=1\), \(n=2\) и, наконец, \(m=3\). Имеем три решения, а следовательно, три пары точек.