Теория:

Пример:
а) верно ли, что существует единственное простое число, являющееся одновременно и суммой, и разностью двух простых чисел?
 
б) Верно ли, что не существует арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, все члены которой не являются ни суммой, ни разностью двух простых чисел?
 
в) Найди наименьшее натуральное число, не являющееся ни суммой, ни разностью простых чисел.
 
а) Действительно, такое число единственное.
 
Это — \(5\).
 
В самом деле, допустим, что простое число r есть одновременно сумма и разность двух простых чисел.
 
Число r, очевидно, должно быть больше двух, и поэтому r есть нечётное простое число.
 
Далее, так как r есть и сумма, и разность двух простых чисел, то одно из них должно быть нечётным, а другое чётным, то есть \(2\).
 
Итак, имеем r \(= p + 2 = q - 2\), где \(p\) и \(q\) являются нечётными простыми числами.
 
Но тогда \(p\), r \(= p + 2\), \(q\) \(=\) r \(+\) \(2\) являются тремя последовательными нечётными простыми числами, а, как известно, существует только одна тройка таких чисел — \(3, 5, 7\) (так как из трёх последовательных нечётных чисел хотя бы одно должно делиться на \(3\)). 
 
Таким образом, r \(= 5\).
 
б) Такова, например, прогрессия \(30k+7(k=1, 2, 3...)\).
 
Действительно, если допустим, что \(30k+7=p+q\), то, так как \(30k+7\) есть нечётное число, одно из чисел \(p\) и \(q\) будет чётным и, следовательно, как простое будет равно \(2\), так что если, например, \(q=2\), то \(p=30k+5=5(6k+1)\), что невозможно, так как \(p\) — простое число.
 
Если же мы допустим, что \(30k+7=p-q\), где \(p\) и \(q\) — простые числа, то будет \(q=2\) и, следовательно, \(p=30k+9=3(10k+3)\), что тоже невозможно.
 
в) Наименьшим таким числом является число \(23,\) так как числа \(21\) и \(25\) — составные.