Теория:

Пример:
даны числа an=22n+12n+1+1 и bn=22n+1+2n+1+1, где n — натуральное число.
 
а) Могут ли числа an и bn одновременно делиться на \(5\)?
 
б) Верно ли, что если n кратно \(4\), то bn делится на \(5\)?
 
в) Какой наибольший остаток возможен при делении an и bn на \(5\)?
 
а) Оценим разность  bn и an:

bnan=22n+1+2n+1+1(22n+12n+1+1)=22n+1=2n+2.
 
Число 2n+2 может оканчиваться на \(4\), \(8\), \(6\) или \(2\), то есть на \(5\) делиться не будет.
 
б) Пусть n=4k,k=0,1,2,3... Тогда bn=28k+1+24k+1+1.
24k и 28k оканчиваются на \(6\), поэтому 24k+1 и 28k+1 оканчиваются на \(2\), а 2+2+1=5, поэтому bn делится на \(5\).
 
в) Рассмотрим четыре случая:
   
n=4k,k=0,1,2,3...
 
Для bn остаток от деления на \(5\) равен \(0\) (см. п. б).
 
an=28k+124k+1+1 при делении на \(5\) даёт в остатке \(1\), так как 24k+1 и 28k+1 оканчиваются на \(2\), а 22+1=1.
 
n=4k+1,k=0,1,2,3...
 
an=28k+324k+2+1.
 
28k+3 оканчивается на \(8\), 24k+2 оканчивается на \(4\).
 
84+1=5. Остаток от деления an на \(5\) будет \(0\).
 
bn=28k+3+24k+2+1, 8+4+1=13, остаток от деления на \(5\) — \(3\).
 
n=4k+2,k=0,1,2,3...
 
an=28k+524k+3+1.
 
28k+5 оканчивается на \(2\), 24k+3 — на \(8\). 128+1=5. Остаток от деления an на \(5\) будет \(0\).
 
bn=28k+5+24k+3+1, 2+8+1=11, остаток от деления на \(5\) — \(1\).
 
n=4k+3,k=0,1,2,3...
 
an=28k+724k+4+1
28k+7 оканчивается на \(8\), 24k+4 — на \(6\). 86+1=3. Остаток от деления an на \(5\) будет \(3\).
 
bn=28k+7+24k+4+1, 8+6+1=15. Остаток от деления на \(5\) — \(0\).
 
Таким образом, наибольший остаток — \(3\).