Теория:

Пример:
числа вида M=2n1 (\(n\) — натуральное число) называются числами Мерсенна.
 
а) Верно ли, что для чётных \(\)n\(>4\) число Мерсенна всегда можно представить в виде произведения по крайней мере трёх натуральных чисел, больших \(1\)?
 
б) Верно ли, что существует единственное значение n, при котором число Мерсенна можно представить в виде произведения двух простых чисел?
 
в) Найди наибольшее четырёхзначное простое число Мерсенна.
а) Пусть
 n=2k,22k1=(2k1)(2k+1).
 
Если бы число 22k1 было бы произведением двух простых чисел, то числа 2k1 и 2k+1 должны были бы быть простыми.
 
Однако из трёх чисел 2k1,  2k и 2k+1 одно (и притом не 2k) кратно \(3\). 
 
А поскольку при \(k>2\) оба числа 2k1 и 2k+1 превосходят \(3\), то хотя бы одно из этих чисел — составное.
 
Итак, для n чётных, больших \(4\), числа 2n1 являются произведением по крайней мере трёх натуральных чисел, больших \(1\).
 
б) Первое такое число при n\(=4\) найти несложно: 241=35. Остальные чётные перебирать не будем (см. п. а).
 
Перебирая числа при нечётном n, найдём 291=773. Таким образом получили, что такое число не единственное.
 
в) Следующим за числом 291=773=511 для нечётных n идёт число 2111=2389=2047.
 
Следующее число 2131=8191.
 
Это простое четырёхзначное число.