Теория:

Пример:
между цифрами двузначного числа ab¯ вписывают cd¯, в середину числа acdb¯ опять вписывают cd¯ и т. д.
 
а) Верно ли, что если \(\)ab¯\( = \)cd¯\( =48\), то полученное на \(48\)-м шаге число является полным квадратом?
 
б) Верно ли, что если \(\)ab¯\( =16\), а \(\)cd¯\( =15\), то полученное на \(15\)-м шаге число является полным квадратом?
 
в) Квадрат какого числа получится на \(10\)-м шаге, при \(\)ab¯\(=16\), \(\)cd¯\(=15\)?
  
а) На n\(-1\)-м шаге получим число:
 
444...4nцифр888...8nцифр=410n1910n+810n19=2310n12310n1+2.
 
Это произведение двух последовательных чётных чисел, которое не может являться полным квадратом, в том числе и для n \(=48\).
 
Ответ: нет.
 
б) На n-м шаге получим число:
 
1111...1nцифр555...5nцифр6=10n+11910n+1+51010n19+6=10n+13210n+19+510n+19509+6=10n+132+410n+19+49=10n+1+232.
 
То есть, независимо от n полученное число всегда является полным квадратом.
 
Ответ: да.
 
в) Полученное в п. б выражение можно записать в виде:
 
10n+1+232=10n+113+12=333..3nцифр+12.
 
При n \(=10\) получаем ответ \(3333333334\).