Теория:

Пример:
на доске записана последовательность чисел p, \(p+2\), \(p+6\), \(p+8\), \(p+12\), \(p+14\).
 
а) Верно ли, что существует единственное значение p, при котором каждое из пяти подряд идущих чисел этой последовательности является простым числом?
 
б) Верно ли, что существует значение p, при котором каждое из шести чисел этой последовательности является простым числом?
 
в) Найди сумму всех значений p, при котором каждое из шести чисел этой последовательности является простым числом.
 
а) Таких чисел по крайней мере два: \(5\) и \(11\). Последовательности \(5, 7, 11, 13, 17\) и \(11, 13, 17, 19, 23\) содержат пять простых чисел. 
  
б) Это число \(5\).
  
в) Докажем, что \(5\) — это единственное такое значение p.
  
Для p \(< 5\) легко проверить, что все числа простыми не будут.
  
Если \(\)p\( > 5\) и p \(=5k\), где \(k\) — натуральное число, то \(p\) — составное число.
  
Если p\(=5k+1\), то число p+\(14\) делится на \(5\), поэтому оно составное.
  
Если p\(=5k+2\), то число p+\(8\) делится на \(5\), поэтому оно составное. 
  
Если p\(=5k+3\), то число p+\(12\) делится на \(5\), поэтому оно составное.
  
Если p\(=5k+4\), то число p+\(6\) делится на \(5\), поэтому оно составное.
  
Значит, и сумма всех таких значений p равна \(5\).