Теория:

Рациональное выражение — это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной \(x\) с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.
Рациональное уравнение записывают в виде \(r(x)=0\), где \(r(x)\)— рациональное выражение, или в виде \(h(x) = q(x)\), где \(h(x)\) и \(q(x)\) — рациональные выражения.
 
Мы умеем решать рациональные уравнения, которые преобразуются в линейное или квадратное уравнение.
Пример:
реши уравнение 2xx3+112=3x.
Перенесём одночлен 3x из правой части уравнения в левую с противоположным знаком: 2xx3+1123x=0.
 
Преобразуем левую часть уравнения. Имеем
 
2x(2xx3+11(x(x3)23(2(x3)x=2x2x+11xx36x32xx3=4x2+11x233x6x+182xx3==15x239x+182xx3=35x213x+62xx3.
 
Таким образом, получим уравнение:
 
 35x213x+62xx3=0.
 
Вспомним, когда дробь равна нулю: ab=0. Должны выполняться два условия:
 
1. числитель дроби равен нулю \((а = 0)\);
2. знаменатель дроби отличен от нуля: b0.
 
Приравняв к нулю числитель дроби в левой части уравнения, получим
35x213x+6=0;5x213x+6=0;x1,2=13±13245610=13±16912010=13±710;x1=13+710=2;x2=13710=35=0,6.
 
Осталось проверить выполнение второго указанного выше условия. Соотношение b0 означает для уравнения, что 2xx30x0;x3. Значения x1=2;x2=0,6 удовлетворяют условиям и потому являются корнями уравнения.
 
Ответ: \(2; 0,6\).
Если в результате решения числителя окажется число, при подстановке которого знаменатель будет равен нулю, то это число не может быть корнем уравнения, так как является посторонним корнем и в ответ не включают.
Алгоритм решения рационального уравнения
1. Перенести всё в одну часть уравнения.
 
2. Привести это уравнение к виду алгебраической дроби p(x)q(x).
 
3. Решить систему уравнений, где \(p(x)=0\), а qx0.
 
4.  Записать ответ, исключив посторонние корни уравнения qx0.