Теория:

Пусть задана функция \(y=f(x)\) и точка \(M(a;f(a))\); и известно, что существует f(a).
Выведем уравнение касательной к графику функции в данной точке.
Это уравнение имеет вид \(y=kx+m\), поэтому нужно найти значение коэффициентов \(k\) и \(m\).

Заметим, что k=f(a). Для того, чтобы найти значение \(m\), мы знаем, что искомая прямая проходит через данную точку \(M(a;f(a))\). 
Далее подставим координаты точки \(M\) в уравнение прямой, получим равенство \(f(a)=ka+m\), т. е. \(m=f(a)-ka\).

После чего подставляем значения полученных коэффициентов \(k\) и \(m\) в уравнение прямой:

y=kx+m;y=kx+(f(a)ka);y=f(a)+k(xa);y=f(a)+f(a)(xa).

Нами получено уравнение касательной к графику функции \(y=f(x)\) в точке \(x=a\).

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции \(y=f(x)\)

1. Обозначим абсциссу точки касания буквой \(a\).

2. Вычислим \(f(a)\).

3. Найдём производную f(x) и вычислим f(a).

4. Подставим найденные числа \(a\), \(f(a)\), f(a) в формулу y=f(a)+f(a)(xa).

Если функция \(y=f(x)\) имеет производную в точке \(x\), то Δyf(x)Δx;

или в другом виде: f(x+Δx)f(x)f(x)Δx.

43. vienād..bmp

Заменим \(x\) на \(a\), заменим x+Δx на \(x\),  тогда Δx будет \(x-a\). Тогда написанное выше приближенное равенство примет вид:

f(x)f(a)f(a)(xa) илиf(x)f(a)+f(a)(xa).

Смысл приближенного равенства в том, что в качестве приближенного значения функции в точке \(x\) берут значение ординаты касательной в той же точке.