Теория:

Основные свойства треугольника
1. Сумма всех углов в треугольнике равна \(180°\). То есть если в задаче даны два угла, то всегда легко найти третий, вычитая их сумму из \(180°\). 
 
2. Внешний угол треугольника (рис. \(1\)) равен разности \(180°\) и градусной меры смежного с ним угла треугольника, или сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним.

3. Периметр треугольника — это сумма всех его сторон.
 
13_49.svg
Рис. \(1\). Внешний угол треугольника
A+B+C=180°;DCB=180ACB;DCB=A+B;PΔABC=AB+BC+AC.
Равнобедренный треугольник и его особенности
Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Сторона, стягивающая эти равные стороны, называется основанием.
 
а) Углы при основании треугольника равны
 
б) Медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольника, проведённые из вершины, противоположной основанию — один и тот же отрезок, делят равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника.
 
13_61.svg
Рис. \(2\). Равнобедренный треугольник
AB=BC,AH=HC;BHC=90°;BAC=BCH;ABH=CBH.
Равносторонний треугольник
Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны. 
 
а) Равны все углы, и каждый из них — \(60°\).
 
б) Равны все медианы, биссектрисы и высоты.
 
в) Зная сторону равностороннего треугольника, можно по формулам найти его высоту и площадь.
 
13_62.svg
Рис. \(3\). Равносторонний треугольник
AB=BC=AC;A=B=C=60°;h=AB32;SΔABC=AB234.
Площадь
Площадь любого треугольника (рис. \(4\)) можно найти по нескольким основным формулам:
  
SΔABC=12ABh;
SΔABC=12ABACsinA;
 
SΔABC=p(pAB)(pAC)(pBC),
 
где p=12(AB+BC+AC).
 
 13_63.svg
 
Рис. \(4\). Треугольник, в котором проведена высота
Подобие
Подобные треугольники — это два треугольника со всеми равными углами и пропорциональными сторонами.
 
а) Стороны подобных треугольников соотносятся с равным коэффициентом, который называется коэффициент подобия.
 
б) Площади таких треугольников соотносятся как квадрат коэффициента их подобия.
 
в) Периметры подобных треугольников соотносятся как коэффициент их подобия.
 
г) Средняя линия треугольника проходит через середины двух его сторон, параллельна одному из оснований и равна его половине.
 
д) Медианы любого треугольника делятся точкой пересечения на отрезки, относящиеся как \(2 : 1\), считая от вершины.
 
13_64.svg
Рис. \(5\). Подобные треугольники, в первом проведена средняя линия, во втором — медианы
ΔABCΔA1B1C1;ABA1B1=BCB1C1=ACA1C1=k;PΔABCPΔA1B1C1=k;SΔABCSΔA1B1C1=k2;B1OOO1=21;MNAC,MN=12AC.
Прямоугольный треугольник и тригонометрические функции
В прямоугольном треугольнике один угол равен \(90°\), два других угла — \(90°\) в сумме. 
 
а) Стороны, выходящие из прямого угла, называются катетами, сторона, которая их стягивает — гипотенузой. 
 
б) Гипотенуза всегда длиннее катета. Сумма катетов всегда длиннее гипотенузы. 
 
в) В прямоугольном треугольнике действует теорема Пифагора, по которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. 
 
г) Полезно знать основные соотношения в прямоугольном треугольнике. Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе, тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему, котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему. 
 
д) Основное тригонометрическое тождество гласит, что сумма квадратов синуса и косинуса острого угла равна единице.
 
13_48.svg
Рис. \(6\). Прямоугольный треугольник
AB2=AC2+BC2;
 sinA=BCAB,cosA=ACAB,
tgA=BCAC,ctgA=ACBC;
 sin2A+cos2A=1.
Таблица некоторых значений тригонометрических функций, которые используются на экзамене и должны быть выучены наизусть, доступна здесь.
Четырёхугольники
Чтобы найти элементы четырёхугольника, часто необходимо провести дополнительные построения (диагональ, высоту, биссектрису угла или другие отрезки) и затем рассматривать полученные треугольники. Поэтому задача с четырёхугольником сводится к нахождению элементов треугольника.
 
Формулы площадей четырёхугольников нужно выучить наизусть.