Теория:

Основные сведения
Окружность — это множество точек, расположенных на одном расстоянии от центра окружности. Все радиусы окружности равны, радиус является половиной диаметра.
Касательная
Если прямая имеет с окружностью только одну общую точку, она называется касательной. Между радиусом и касательной угол составляет 90°.
 
16_23.svg
 
Рис. \(1\). Окружность и касательная
Углы
Если угол опирается на диаметр, то он прямой. На рисунке треугольник \(ABC\) прямоугольный, диаметр является гипотенузой, хорды \(AB\)  и \(BC\) — катеты. Для поиска неизвестных сторон можно пользоваться теоремой Пифагора, посмотреть можно здесь.
 
16_25.svg
 
Рис. \(2\). Угол, опирающийся на диаметр
 
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Что такое вписанный угол, можно посмотреть здесь.
 
16_27.svg
 
Рис. \(3\). Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу
 
Центральный и вписанный углы соотносятся как \(2:1\). Подробно — здесь.
 
16_29.svg
 
Рис. \(4\). Центральный и вписанный углы, опирающиеся на одну дугу
Пересекающиеся диаметры
Если провести через центр окружности два отрезка, мы получим две хорды, являющиеся также диаметрами окружности. Образуют два равных равнобедренных треугольника.
 
16_26.svg
 
Рис. \(5\). Пересекающиеся диаметры
Вписанный и описанный треугольники
Треугольник вписан в окружность, если его вершины лежат на окружности. Треугольник описан около окружности, если его стороны касаются окружности. Подробно об этом можно узнать здесь.
Вписанный и описанный четырёхугольники
Если вершины четырёхугольника лежат на окружности, то он называется вписанным четырёхугольником. Противоположные углы такого четырёхугольника в сумме дают по \(180°\).
 
Если окружность касается сторон четырёхугольника, то он будет описанным четырёхугольником. У такого четырёхугольника равны суммы противолежащих сторон.
 
16_28.svg
 
Рис. \(6\). Вписанный четырёхугольник 
Формулы для вписанных и описанных правильных многоугольников
 
Радиус описанной окружности
Радиус вписанной окружности
Правильный треугольник
R=a3
r=a23
Квадрат
R=a2
r=a2
Правильный шестиугольник
R=a
r=a32
Длина окружности и площадь круга
Для расчёта длины окружности l=2πr и площади круга S=πr2 используется отношение длины окружности к её диаметру, которое называется числом «пи» и примерно равно \(3,14\). Пользуясь этими формулами, можно рассчитать длину дуги окружности и площадь части окружности. Подробнее здесь.