1. Прямоугольный треугольник

Следующие соотношения позволяют найти стороны и углы прямоугольного треугольника по любым двум элементам (сторонам или стороне и углу).

Рис. \(1\). Прямоугольный треугольник

 

 

Очень важные соотношения можно получить, заметив, что $\angle \mathit{DCB}=\angle \mathit{CAD};\angle \mathit{DBC}=\angle \mathit{ACD}$.  

Мы получаем три пары подобных треугольников:

$\mathrm{\Delta }\mathit{ACD}\sim \mathrm{\Delta }\mathit{CBD};\mathrm{\Delta }\mathit{ACD}\sim \mathrm{\Delta }\mathit{ABC};\mathrm{\Delta }\mathit{CBD}\sim \mathrm{\Delta }\mathit{ABC}$.

Из подобий:

 $\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }\mathit{ACD}\sim \mathrm{\Delta }\mathit{CBD}:\\ \frac{\mathit{AC}}{\mathit{CB}}=\frac{\mathit{CD}}{\mathit{BD}}=\frac{\mathit{AD}}{\mathit{CD}};\\ \frac{b}{a}=\frac{h}{a_c}=\frac{b_c}{h}\Rightarrow h^2=a_c\cdot b_c.\end{array}$

 $\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }\mathit{ACD}\sim \mathrm{\Delta }\mathit{ABC}:\\ \frac{\mathit{AC}}{\mathit{AB}}=\frac{\mathit{CD}}{\mathit{BC}}=\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AC}};\\ \frac{b}{c}=\frac{h}{a}=\frac{b_c}{b}\Rightarrow b^2=c\cdot b_c.\end{array}$

 $\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }\mathit{CBD}\sim \mathrm{\Delta }\mathit{ABC}:\\ \frac{\mathit{CB}}{\mathit{AB}}=\frac{\mathit{BD}}{\mathit{BC}}=\frac{\mathit{CD}}{\mathit{AC}};\\ \frac{a}{c}=\frac{a_c}{a}=\frac{h}{b}\Rightarrow a^2=c\cdot a_c.\end{array}$

Из последних соотношений можно получить ещё одно важное соотношение —

$\frac{a}{c}=\frac{h}{b}\Rightarrow h=\frac{\mathit{ab}}{c}.$ 

Это же равенство можно получить, используя две формулы для вычисления площади прямоугольного треугольника:

Отметим ещё одно важное свойство медианы прямоугольного треугольника, проведённого к гипотенузе.

Рис. \(2\). Дополнительные построения

 

Как видно из рисунка, если мы достроим прямоугольный треугольник до прямоугольника, то окажется, что медиана \(CO\) — это половина диагонали прямоугольника, а следовательно, и гипотенузы.