Теория:

Если в уравнении переменная содержится под знаком квадратного корня, то уравнение называют иррациональным.
Иногда математическая модель реальной ситуации представляет собой иррациональное уравнение. Поэтому нам следует научиться решать хотя бы простейшие иррациональные уравнения.
 
Рассмотрим иррациональное уравнение 3x2=2.
 
Это равенство, по определению квадратного корня, означает, что (3x2)2=22. Фактически от заданного иррационального уравнения мы перешли к рациональному уравнению \(3x - 2 = 4\), возведя в квадрат обе части иррационального уравнения.
 
Обрати внимание!
Основным способом решения иррациональных уравнений является возведение в квадрат левой и правой частей уравнения для избавления от знака квадратного корня.
Уравнение \(3x - 2 = 4\) имеет корень \(x = 2\). Это число также является корнем исходного иррационального уравнения.
 
Но не всегда корни, полученные способом возведения в квадрат, являются корнями исходного уравнения.
Рассмотрим, например, иррациональное уравнение 2x5=4x7.
Возведя обе его части в квадрат, получим
2x52=4x72;2x5=4x7.
Далее имеем: \(2x - 4x = -7 +5\);  \(x = 1\).
 
Но значение \(x = 1\), хоть и является корнем рационального уравнения \(2x - 5 = 4x - 7\), не является корнем заданного иррационального уравнения. Почему? Подставив \(1\)  вместо \(x\) в заданное иррациональное уравнение, получим 3=3.
 
Корень из отрицательного числа не существует, поэтому \(x = 1\) — посторонний корень. Иррациональное уравнение не имеет решений.
 
Посторонний корень — не новое для тебя понятие, посторонние корни уже встречались при решении рациональных уравнений, обнаружить их помогает проверка.
 
Обрати внимание!
Для решения иррационального уравнения левую и правую его части возводят в квадрат; корни полученного рационального уравнения нужно в обязательном порядке проверить и отсеять возможные посторонние корни.
Используя этот вывод, рассмотрим пример.
Пример:
реши уравнение 5x16=x2.
Возведём обе части уравнения 5x16=x2 в квадрат: 5x162=x22.
Преобразовываем и получаем:
5x16=x24x+4;x2+9x20=0;x29x+20=0;x1=5;x2=4.
 
Проверка. Подставив \(x = 5\) в уравнение 5x16=x2, получим 9=3 — верное равенство. Подставив \(x = 4\) в уравнение 5x16=x2, получим 4=2 — верное равенство. Значит, оба найденных значения — корни уравнения 5x16=x2.
Ты уже накопил некоторый опыт в решении различных уравнений: линейных, квадратных, рациональных, иррациональных. Ты знаешь, что при решении уравнений выполняют различные преобразования, например: член уравнения переносят из одной части уравнения в другую с противоположным знаком; обе части уравнения умножают или делят на одно и то же отличное от нуля число; освобождаются от знаменателя, т. е. заменяют уравнение pxqx=0 уравнением \(р(x)=0\); обе части уравнения возводят в квадрат.
 
При выполнении некоторых преобразований могут появляться посторонние корни, не удовлетворяющие первоначальному уравнению.
Два уравнения \(f (x) = g(x)\) и \(r(x) = s(x)\) называют равносильными, если они имеют одинаковые корни (или эти уравнения не имеют корней).
При решении уравнения выполняют преобразования и переходят на каждом шаге к более простым равенствам. Если одно равенство заменяется другим, равносильным ему равенством, то замену называют равносильным преобразованием уравнения.
 
Равносильные преобразования уравнения:
 
1. перенос членов уравнения из одной части уравнения в другую с противоположными знаками.
Например, равносильным преобразованием является замена уравнения \(2x + 5 = 7x - 8\) уравнением \(2x - 7x = - 8 - 5\). То есть уравнения \(2x + 5 = 7x -8\) и \(2x - 7x = -8 - 5\)  равносильны.
 
2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.
Например, замена уравнения 0,5x20,3x=2 уравнением 5x23x=20 (обе части уравнения умножили почленно на \(10\)) есть равносильное преобразование уравнения.
 
Неравносильные преобразования уравнения:
 
1. освобождение от знаменателей, содержащих переменные.

Например, замена уравнения x2x2=4x2 уравнением x2=4 есть неравносильное преобразование уравнения. Дело в том, что уравнение x2=4 имеет два корня: \(2\) и \(- 2\) — а заданному уравнению значение \(x = 2\) удовлетворять не может (знаменатель обращается в нуль). В подобных случаях мы говорили так: \(x = 2\) — посторонний корень.
 
2. Возведение в квадрат левой и правой частей уравнения.
 
Обрати внимание!
Если при решении уравнения выполнялось любое неравносильное преобразование, то среди найденных корней могут оказаться посторонние. Поэтому все полученные корни нужно подставить в исходное уравнение и проверить.