Теория:

\(Иррациональное\) уравнение — это уравнение, в котором переменная записана под знаком квадратного корня.
Математическая модель реальной ситуации может представлять собой иррациональное уравнение. Поэтому нам следует научиться решать хотя бы простейшие иррациональные уравнения.
 
Рассмотрим иррациональное уравнение 3x2=2.
 
Это равенство, по определению квадратного корня, означает, что (3x2)2=22. Фактически от заданного иррационального уравнения мы перешли к рациональному уравнению \(3x - 2 = 4\), возведя в квадрат обе части иррационального уравнения.
 
Обрати внимание!
Основным способом решения иррациональных уравнений является возведение в квадрат левой и правой частей уравнения для избавления от знака квадратного корня.
Уравнение \(3x - 2 = 4\) имеет корень \(x = 2\). Это число также является корнем исходного иррационального уравнения.
 
Но не всегда корни, полученные способом возведения в квадрат, являются корнями исходного уравнения.
Рассмотрим пример: 2x5=4x7.
Возведём обе части уравнения в квадрат, получим
2x52=4x72;2x5=4x7.
Далее имеем: \(2x - 4x = -7 +5\);  \(x = 1\).
 
Корень \(x = 1\) рационального уравнения \(2x - 5 = 4x - 7\), не является корнем заданного иррационального уравнения. Так как ,выполнив подстановку в заданное иррациональное уравнение, получим 3=3.
 
Корень из отрицательного числа не существует, поэтому \(x = 1\) — посторонний корень. Иррациональное уравнение не имеет решений.
 
Посторонние корни встречались при решении рациональных уравнений и, чтобы обнаружить их, нужно выполнить проверку.
 
Обрати внимание!
Для решения иррационального уравнения левую и правую его части возводят в квадрат; корни полученного рационального уравнения нужно в обязательном порядке проверить и отсеять возможные посторонние корни.
Рассмотрим пример, демонстрирующий алгоритм действий.
Пример:
реши уравнение 5x16=x2.
Возведём в квадрат левую и правую части уравнения 5x16=x2: 5x162=x22.
Преобразовываем к стандартному виду:
5x16=x24x+4;x2+9x20=0;x29x+20=0;x1=5;x2=4.
 
Проверка. Подставив \(x = 5\) в уравнение 5x16=x2, получим 9=3 — верное равенство. Подставив \(x = 4\) в уравнение 5x16=x2, получим 4=2 — верное равенство. Значит, оба найденных значения — корни уравнения 5x16=x2.
Ты уже накопил некоторый опыт в решении различных уравнений: линейных, квадратных, рациональных, иррациональных. Ты знаешь различные преобразования при решении уравнений: перенос компонента уравнения с противоположным знаком из одной части уравнения в другую; умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля; освобождаются от знаменателя, т. е. заменяют уравнение pxqx=0 уравнением \(р(x)=0\); обе части уравнения возводят в квадрат.
 
При выполнении некоторых преобразований могут появляться посторонние корни, не удовлетворяющие первоначальному уравнению.
Два уравнения \(f (x) = g(x)\) и \(r(x) = s(x)\) называют равносильными, если они имеют одинаковые корни (или эти уравнения не имеют корней).
При решении уравнения выполняют преобразования и переходят на каждом шаге к более простым равенствам. Когда одно равенство заменяется другим, равносильным ему, то замену называют равносильным преобразованием уравнения.
 
Равносильные преобразования уравнения:
 
1. Переносить члены уравнения с противоположным знаком из одной части уравнения в другую.
Например, равносильным преобразованием является замена уравнения \(2x + 5 = 7x - 8\) уравнением \(2x - 7x = - 8 - 5\). Такие уравнения \(2x + 5 = 7x -8\) и \(2x - 7x = -8 - 5\)  равносильны.
 
2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.
Заменим уравнение 0,5x20,3x=2 на следующий вид 5x23x=20, где уравнение умножили на \(10\)) — это равносильное преобразование.
 
Неравносильные преобразования уравнения:
 
1. освобождение от знаменателей, содержащих переменные.

Заметим, что замена следующего уравнения x2x2=4x2 на уравнение x2=4 — это неравносильное преобразование. Так как уравнение вида x2=4 имеет два корня: \(2\) и \(- 2\) — а первоначальному уравнению значение \(x = 2\) не удовлетворяет из-за того, что знаменатель обращается в нуль. Следовательно, \(x = 2\) — посторонний корень.
 
2. Возведение в квадрат левой и правой частей уравнения.
 
Обрати внимание!
Если при решении уравнения выполнялось любое неравносильное преобразование, то среди найденных корней могут оказаться посторонние. Поэтому все полученные корни нужно подставить в исходное уравнение и проверить.