Теория:
Теорема о трёх перпендикулярах — один из наиболее часто встречающихся геометрических фактов в \(14\)-й задаче ЕГЭ.
Как её понять и научиться видеть и использовать?
Пусть есть плоскость , прямая \(AB\), пересекающая плоскость, и её проекция \(BC\).
Согласно теореме о трёх перпендикулярах имеем:
Важно понимать следующие моменты:
- о каких трёх перпендикулярах идёт речь. Два перпендикуляра очевидны — . Третий перпендикуляр — \(AB\). Важно понимать, что это не только перпендикуляр к плоскости, но и перпендикуляр к прямой \(b\).
- Полезно уметь «передоказывать» теорему. Перпендикулярность прямых \(AC\) и \(b\) следует из перпендикулярности прямой \(b\) плоскости, которую можно «нанизать» на пересекающиеся прямые \(AB\) и \(BC\). Так как прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости, а следовательно, и любой прямой в плоскости, в том числе и \(AC\). Таким образом, можно доказывать перпендикулярность прямых, ссылаясь не на теорему о трёх перпендикулярах, а на признак перпендикулярности прямой и плоскости и свойство прямой, перпендикулярной плоскости:
- Теорема о трёх перпендикулярах справедлива в «обе стороны». То есть, если прямая перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной:
Исходя из вышесказанного, при доказательстве перпендикулярности прямых в пространстве можно идти разными путями:
- обосновать наличие наклонной, её проекции и перпендикулярность им некоторой прямой, ссылаясь на теорему о трёх перпендикулярах;
- ссылаться на признак перпендикулярности некоторой прямой плоскости, натянутой на две перпендикулярные этой прямой прямые.