2. О потере корней в логарифмических уравнениях

Решение логарифмических уравнений должно начинаться с нахождения ОДЗ. В процессе преобразований стоит постоянно следить за ОДЗ и равносильностью преобразований.

Например, формула

 

 

неверна, если не все из чисел \(a\), \(b\) и \(c\) положительны.

Если преобразовывать выражение ${\mathit{log}}_a\left(f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right)$ по этой формуле, то можно просто потерять те корни \(x\), при которых как \(f(x)\), так и \(g(x)\) отрицательны. Поэтому при решении уравнений и неравенств полезно применять следующие вариации этой формулы:

 

 

Приведём теперь простейшие логарифмические уравнения и эквивалентные переходы, позволяющие избавляться от логарифмов.

 

 

В частности, если \(a\) есть положительное число, не равное единице, то

 

 

Заметим, что вместо неравенства \(g(x)>0\) можно было записать неравенство \(h(x)>0\) — это всё равно, так как \(g(x)=h(x)\); можно при желании записать в систему оба эти неравенства. Конечно же, разумней решать меньше неравенств, и, поскольку всё равно, какое неравенство записать в систему, лучше взять то, которое проще.