Теория:

Решая уравнения, мы уже говорили об области допустимых значений выражений и об основных принципах учёта ОДЗ. Но если в уравнениях мы рекомендовали после преобразований уравнения выполнять проверку, то выполнить проверку при решении неравенства подстановкой чаще всего невозможно.
 
Поэтому ОДЗ нужно постоянно учитывать при преобразовании неравенств и выделять преобразования, которые:
  • не изменяют ОДЗ;
  • расширяют ОДЗ;
  • сужают ОДЗ.
Например, все преобразования, которые основаны на свойствах числовых неравенств (перенос из одной части в другую, умножение на положительное число) не изменяют ОДЗ, и при их выполнении упоминать про ОДЗ вообще не нужно.
 
При решении дробно-рациональных неравенств методом интервалов область допустимых значений учитывается при «выкалывании» точек на числовой прямой.
 
При решении иррациональных неравенств «освобождение» от корней чётной степени возведением в квадрат часто приводит к расширению ОДЗ, поэтому это преобразование требует рассмотрения разных случаев, в зависимости от знака правой части.
 
 «Избавление» от логарифмов требует наложения условий, исходящих из области определения логарифмической функции.
 
Сложнее с преобразованиями, приводящими к сужению ОДЗ.
 
Например,
 
33.PNG
 
Эти преобразования верны только при неотрицательных значениях функций \(f(x)\) и \(g(x)\), поэтому при их использовании нужно рассматривать отдельно каждый случай знаков функций.