Теория:

Чтобы решать \(15\)-ю задачу, нужно прежде всего научиться решать рациональные неравенства методом интервалов.
 
Метод интервалов — универсальный метод, которым решаются практически все неравенства видов
 
f(x)0,f(x)0,f(x)<0,f(x)>0.

Если в твоём неравенстве справа не нуль — ты знаешь, что с этим делать: переносишь правую часть влево (не забываешь поменять знак).

Самое важное, что нужно понимать при решении неравенств методом интервалов — это то, что мы определяем именно знак некоторой функции.

Если мы применим именно функциональный подход, то правая часть неравенства и представляет собой некоторую функцию.
 
график.JPG

Что означает в графическом понимании f(x)>0? Это положительные значения функции — все точки графика, у которых положительные значения \(у\), т. е. части графика, расположенные выше оси \(Ox\). Эти части обведены жёлтым цветом на рисунке.
 
график2.JPG
 
Соответственно, для f(x)<0 — это отрицательные значения функции, все точки графика, у которых отрицательные значения \(у\), т. е. части графика, расположенные ниже оси \(Oх\). Эти части обведены синим цветом на рисунке.

Обратим внимание на точки x1,x2,x3,x4. Это точки, в которых функция пересекает или касается оси \(Oх\). Значения функции в этих точках равно нулю. Эти точки можно найти, решив уравнение f(x)=0.

Давай посмотрим, чем отличается поведение функции в точках x1,x2,x4 и точке x3.

В точках x1,x2,x4 знак неравенства меняется, а в точке x3 смена знака не происходит.
 
Например, парабола с равным нулю дискриминантом xx32=xx3xx3 ведёт себя так же, как наша функция в точке x3. Это точка двойной кратности, так как в ней знак меняется дважды — и в первой, и во второй скобке.
 
Пример:
56.PNG
 
Существует соблазн: упростить левую часть, сократив на \((x-3)\). Но это преобразование не равносильное, так как приведёт к неравенству с другим ОДЗ. (Точка \(x=3\) не входила в ОДЗ первого неравенства, но входит в ОДЗ нового.)
 
Найдём нули функции и точки, в которых знаменатель равен нулю:
 
7x=0,x+4=0,x30;x=7,x=4,x3.
 
Отметим на числовой прямой эти точки, учитывая ОДЗ и выделяя точки двойной кратности. В самом правом промежутке знак определяем, подставив какое-то большое значение, например \(100\). В других промежутках знаки определяем, учитывая чередование: при переходе через точку одной кратности — меняем, через точку двойной кратности — не меняем.
 
интервал.PNG
 
Так как знак неравенства \(«\)\(»\), в ответ попадут промежутки: ;3(3;7.