Цилиндр — урок. Единый государственный экзамен (11 класс), Математика (материалы 2021 года).

Цилиндр — это тело вращения, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны.

Рис. \(1\). Цилиндр

Прямоугольник

AO O_{1} A_{1}

вращается вокруг стороны

{OO}_{1}

{OO}_{1}

— ось симметрии цилиндра и высота цилиндра.

{AA}_{1}

— образующая цилиндра, длина которой равна длине высоты цилиндра.
\(AO\) — радиус цилиндра.

Полученная цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги — основаниями цилиндра.

Осевое сечение цилиндра — это сечение цилиндра плоскостью, которая проходит через ось цилиндра. Это сечение является прямоугольником.

При сечении цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра (т. е. перпендикулярной основанию), также получается прямоугольник.

Рис. \(2\). Сечение цилиндра плоскостью

На рисунке изображён цилиндр, пересечённый плоскостью, которая параллельна оси цилиндра

{OO}_{1}

AB B_{1} A_{1}

— прямоугольник.
\(OA = OB = R\) — радиусы.

\(OC\) — расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.
Дуга \(AB\) равна центральному углу \(AOB\).

При сечении цилиндра плоскостью, параллельной основанию, в сечении получаем круг, равный основаниям цилиндра.

Если представить, что боковая цилиндрическая поверхность разрезана по образующей

{AA}_{1}

и развёрнута, получаем прямоугольник.

Рис. \(3\). Боковая цилиндрическая поверхность

Сторона

{AA}_{1}

равна высоте \(H\), а другую сторону образует развёрнутая окружность основания длиной

2 π R

Так как развёртка — прямоугольник, то боковая поверхность определяется по формуле:

S_{бок .} = 2 π R \cdot H

Основания цилиндра — два круга с общей площадью

2 \cdot π R^{2}

Полная поверхность цилиндра определяется по формуле:

S_{полн .} = 2 π RH + 2 π R^{2} = 2 π R \cdot (H + R)

Источники:

Нашёл ошибку?

1. Цилиндр