Минимум формул, которые достаточно знать — урок. Единый государственный экзамен, ЕГЭ по математике 2021.

У многих учащихся тригонометрия ассоциируется с множеством формул, которые они усиленно пытались запомнить при изучении этого раздела в школе.

На самом деле, формул, необходимых для решения тригонометрических задач в рамках ЕГЭ, совсем немного. Знать на память достаточно всего несколько основных соотношений, а остальные формулы нужно уметь выводить.

Конечно, нужно помнить основные соотношения функций одного угла. Они позволяют выразить одну функцию через другую:

\begin{array}{l} tg x = \frac{\sin x}{\cos x}; ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}; \\ \cos^{2} x + \sin^{2} x = 1; \\ \frac{\cos^{2} x}{\cos^{2} x} + \frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x} = \frac{1}{\cos^{2} x} \Rightarrow 1 + {tg}^{2} x = \frac{1}{\cos^{2} x}; \\ \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x} + \frac{\sin^{2} x}{\sin^{2} x} = \frac{1}{\sin^{2} x} \Rightarrow 1 + {ctg}^{2} x = \frac{1}{\sin^{2} x} . \end{array}

Практически все остальные формулы получаются всего из четырёх формул. Именно эти формулы нужно запомнить:

\begin{array}{l} \cos (x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y; \\ \cos (x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y; \\ \sin (x + y) = \sin x \cos y + \sin y \cos x; \\ \sin (x - y) = \sin x \cos y - \sin y \cos x . \end{array}

Эти же формулы можно использовать в качестве формул приведения:

\cos (\frac{3 π}{2} + α) = \cos \frac{3 π}{2} \cos α - \sin \frac{3 π}{2} \sin α = 0 \cdot \cos α - (- 1) \cdot \sin α = \sin α .

Нужны тангенсы суммы — раздели синус суммы на косинус суммы. И так же с котангенсами.

Нужен двойной угол — замени \(y\) на \(x\):

\begin{array}{l} \cos 2x = \cos (x + x) = \cos x \cos x - \sin x \sin x = \cos^{2} x - \sin^{2} x; \\ \sin 2x = \sin (x + x) = \sin x \cos x + \sin xcos x = 2 \sin x \cos x . \end{array}

Если в формуле косинуса двойного угла применить основное тригонометрическое тождество — получим связь двойного угла с половинным углом:

\cos 2x = \cos^{2} x - \sin^{2} x = {2cos}^{2} x - 1 = 1 - {2sin}^{2} x .

Эти же формулы сводят половинный угол к косинусу целого угла.

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующая теория

Отправить отзыв

Нашёл ошибку?

Сообщи нам!

2. Минимум формул, которые достаточно знать

Теория: