3. Три способа отбора корней

a) Уравнение прежде всего иррациональное, поэтому решается возведением обеих частей в квадрат. С учётом ОДЗ получаем:

 

 

Стоит заметить, что рассматривать оба неравенства в системе нам не нужно, так как мы будем решать уравнение. Поэтому можно оставить только одно — более простое неравенство:

 

 

Прежде всего избавимся от двойного угла в уравнении:

 

 

\(sin x= -1\) исключаем, так как это значение не входит в ОДЗ, а решения второго уравнения обозначим на тригонометрической окружности.

Рис. \(1\). Решения уравнения на единичной окружности

 

Эти решения можно записать в виде:

 

 

б) Рассмотрим три способа отбора корней, попадающих в отрезок $\left[2\mathrm{\pi };\frac{7\mathrm{\pi }}{2}\right]$.

  

вернёмся к единичной окружности. Отметим на ней дугу, соответствующую указанному диапазону:

 

указанный отрезок соответствует неравенству $2\mathrm{\pi }\le x\le \frac{7\mathrm{\pi }}{2}$. Подставим в него полученные корни:

разместим корни уравнения на числовой прямой. Сначала отметим корни, подставив вместо \(n\) и \(m\) \(0\), а потом добавим к каждому корню периоды.

Рис.  \(3\). Отбор корней с помощью координатной прямой

  

Нам останется только выбрать корни, которые попали в нужный нам отрезок.

 

Ответ: а) $x=\frac{\mathrm{\pi }}{6}+2\mathrm{\pi }n,n\in \mathrm{\mathbb{Z}}\mathrm{,}x=\frac{5\mathrm{\pi }}{6}+2\mathrm{\pi }m,m\in \mathrm{\mathbb{Z}}$; б) $\frac{13\mathrm{\pi }}{6},\frac{17\mathrm{\pi }}{6}.$

Рекомендуем при решении тригонометрических уравнений использовать несколько разных способов отбора. Это поможет тебе убедиться в правильности отбора корней и выработать навык выбора более удобного способа.