Теория:

Пример:
а) реши уравнение  sinx=cos2x.
б) Найди все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 2π;7π2.
a) Уравнение прежде всего иррациональное, поэтому решается возведением обеих частей в квадрат. С учётом ОДЗ получаем:
 
sinx=cos2x;sinx0,cos2x0.
 
Стоит заметить, что рассматривать оба неравенства в системе нам не нужно, так как мы будем решать уравнение. Поэтому можно оставить только одно — более простое неравенство:
 
sinx=cos2x;sinx0.
 
Прежде всего избавимся от двойного угла в уравнении:
 
sinx=cos2x;sinxcos2x=0;sinx(cos2xsin2x)=0;sinx(1sin2xsin2x)=0;sinx(12sin2x)=0;2sin2x+sinx1=0;sinx=1,sinx=12.
 
\(sin x= -1\) исключаем, так как это значение не входит в ОДЗ, а решения второго уравнения обозначим на тригонометрической окружности.
3.PNG
 
Эти решения можно записать в виде:
 
x=π6+2πn,n,x=5π6+2πm,m.
 
б) Рассмотрим три способа отбора корней, попадающих в отрезок 2π;7π2.
1 способ:
  
вернёмся к единичной окружности. Отметим на ней дугу, соответствующую указанному диапазону:
4.PNG
  
2π+π6=13π6,2π+5π6=17π6. 
 
2 способ:
указанный отрезок соответствует неравенству 2πx7π2. Подставим в него полученные корни:
 
2ππ6+2πn7π2,n:π;216+2n72,n16;2162n7216,n;1162n206,n:2;1112n2012,n;n=1;x=π6+2π1=13π62π5π6+2πm7π2,m:π;256+2m72,m56;2562m7256,m;762m166,m:2;712m1612,m;m=1;x=5π6+2π1=17π6
 
3 способ:
разместим корни уравнения на числовой прямой. Сначала отметим корни, подставив вместо \(n\) и \(m\) \(0\), а потом добавим к каждому корню периоды.
5.PNG
Нам останется только выбрать корни, которые попали в нужный нам отрезок.
 
Ответ: а) x=π6+2πn,n,x=5π6+2πm,m; б) 13π6,17π6.
Рекомендуем при решении тригонометрических уравнений использовать несколько разных способов отбора. Это поможет тебе убедиться в правильности отбора корней и выработать навык выбора более удобного способа.