Теория:
Пример:
а) реши уравнение .
б) Найди все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
a) Уравнение прежде всего иррациональное, поэтому решается возведением обеих частей в квадрат. С учётом ОДЗ получаем:
Стоит заметить, что рассматривать оба неравенства в системе нам не нужно, так как мы будем решать уравнение. Поэтому можно оставить только одно — более простое неравенство:
Прежде всего избавимся от двойного угла в уравнении:
\(sin x= -1\) исключаем, так как это значение не входит в ОДЗ, а решения второго уравнения обозначим на тригонометрической окружности.
Эти решения можно записать в виде:
б) Рассмотрим три способа отбора корней, попадающих в отрезок .
1 способ:
вернёмся к единичной окружности. Отметим на ней дугу, соответствующую указанному диапазону:
2 способ:
указанный отрезок соответствует неравенству . Подставим в него полученные корни:
3 способ:
разместим корни уравнения на числовой прямой. Сначала отметим корни, подставив вместо \(n\) и \(m\) \(0\), а потом добавим к каждому корню периоды.
Нам останется только выбрать корни, которые попали в нужный нам отрезок.
Ответ: а) ; б)
Рекомендуем при решении тригонометрических уравнений использовать несколько разных способов отбора. Это поможет тебе убедиться в правильности отбора корней и выработать навык выбора более удобного способа.