Теория:

Если точка \(M\) числовой окружности соответствует числу \(t\), то
абсциссу точки \(M\) называют косинусом числа \(t\) и обозначают \(cos\) \(t\),
а ординату точки \(M\) называют синусом числа \(t\) и обозначают \(sin\) \(t\).
точка М.png
 
Рис. \(1\). Координаты точки M
 
Итак, если
тогда             Mt=Mx;y;x=cost;y=sint.
 
Отсюда следует, что 1cost1;1sint1.
Исходя из определения синуса и косинуса, легко определить по окружности значения углов \(0°\), \(90°\), \(180°\), \(270°\), \(360°\):
 
    Безымянный.png
Безымянный 1.png
рис_5.pngрис_6.png
 
Рис. \(2\). Частные случаи
 
Так как в любую точку тригонометрического круга мы придём через целое число оборотов, равных 2π, то справедливы равенства:
sin(t+2πk)=sint;cos(t+2πk)=cost.
 
По окружности можно найти углы, синус, косинус которых равен \(0\), \(1\) и \(-1\). Это и будет решение соответствующих простейших тригонометрических уравнений:
 
sinx=0,x=πk,гдеk;sinx=1,x=π2+2πk,гдеk;sinx=1,x=3π2+2πk,гдеk;          cosx=0,x=π2+πm,гдеm;cosx=1,x=2πm,гдеm;cosx=1,x=π+2πm,гдеm.
 
Отношение синуса числа \(t\) к косинусу того же числа называют тангенсом числа \(t\)
и обозначают \(tg\) \(t\).
Отношение косинуса числа \(t\) к синусу того же числа называют котангенсом числа \(t\)
и обозначают \(ctg\) \(t\).
Получим, что: tgt=sintcost;ctgt=costsint.
Значения тангенса и котангенса повторяются через π, поэтому:
tg(t+πk)=tgt;ctg(t+πk)=ctgt.
Дадим геометрическую иллюстрацию для тангенса и котангенса.
Проведём сначала в координатной плоскости к числовой окружности касательную в точке \(A\).
Эту касательную \(l\) будем считать числовой прямой, ориентированной так же, как ось \(y\), и с началом в точке \(A\) (см. рис. \(3\)) 
 тангенсы2.png
Безымянный 2.png 
  
Рис. \(3\). Линия тангенсов 
 
Итак, если числу \(t\) соответствует на числовой окружности точка \(M\), то, проведя прямую \(OM\), получим в пересечении её с числовой прямой \(l\) точку \(P\), которая имеет на числовой прямой \(l\) координату \(tg\) \(t\).
Числовую прямую \(l\) называют линией тангенсов.
Для углов π2 и 3π2 \(OM\) параллельна числовой прямой \(l\), поэтому для этих углов тангенс не существует. А в углах \(0\) и π тангенс равен \(0\). Поэтому:
tgx=0,x=πk,гдеk.
Аналогично можно ввести линию котангенсов — числовая прямая \(m\) с началом в точке \(B\) (см. рис. \(4\)).
 
котангенсы2.png
 
Рис. \(4\). Линия котангенсов 
 
Для углов \(0\) и π \(OM\) параллельна числовой прямой \(l\), поэтому для этих углов котангенс не существует. А ctgx=0 при x=π2+πk,гдеk.
Источники:
Рис. 1. Координаты точки M. © ЯКласс.
Рис. 2. Частные случаи. © ЯКласс.
Рис. 3. Линия тангенсов. © ЯКласс.
Рис. 4. Линия котангенсов. © ЯКласс.