Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня — урок. Единый государственный экзамен (11 класс), Математика (материалы 2021 года).

До этого момента мы выполняли преобразования только рациональных выражений, где использовали правила работы с многочленами и алгебраическими дробями, формулы сокращённого умножения и т. д. Теперь мы ввели новую операцию — операцию извлечения квадратного корня; мы установили некоторые свойства, что

\begin{array}{l} {(\sqrt{a})}^{2} = a; \\ \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}; \\ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}; \\ \sqrt{a^{2 n}} = a^{n}, \end{array}

где \(a, b\) — неотрицательные числа.

Используя эти свойства, можно выполнить различные преобразования выражений, которые содержат данную операцию. Рассмотрим некоторые примеры, где все переменные принимают только неотрицательные значения.

Пример:

1. упрости выражение

\sqrt{a^{2} b^{4}}

\sqrt{a^{2} b^{4}} = \sqrt{a^{2}} \cdot \sqrt{b^{4}} = a b^{2}

2. Упрости выражение

\sqrt{\frac{16 a^{4}}{9 b^{6}}}

\sqrt{\frac{16 a^{4}}{9 b^{6}}} = \frac{\sqrt{16 a^{4}}}{\sqrt{9 b^{6}}} = \frac{4 a^{2}}{3 b^{3}}

3. Вынеси множитель из-под знака квадратного корня:

\sqrt{81 a} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{a} = 9 \sqrt{a}

;

\sqrt{32 a^{2}} = \sqrt{16 \cdot a^{2} \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{a^{2}} \cdot \sqrt{2} = 4 a \sqrt{2}

4. Внеси множитель под знак квадратного корня:

2 \sqrt{2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8}

5. Выполни действия:

(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})

Пусть

\sqrt{a} = x, \sqrt{b} = y

. Тогда

(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b}) = (x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}

Но

x^{2} = a; y^{2} = b

, значит,

(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b

6. Избавиться в данном алгебраическом выражении от иррациональности в знаменателе:

\frac{1}{\sqrt{2}}

Заметим, что значение дроби не изменится, если её умножить на единицу, которая представлена в виде дроби. В нашем случае, умножим выражение на дробь

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

, получим:

\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Если в знаменателе дроби записан квадратный корень, то это значит, что в знаменателе содержится иррациональность. Преобразование выражения, чтобы знаменатель не содержал квадратных корней, называют освобождением от иррациональности в знаменателе.

Вернуться в тему

Следующее задание

Отправить отзыв

Нашёл ошибку?

Сообщи нам!

1. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня

Теория: