Теория:

До этого момента мы выполняли преобразования только рациональных выражений, где использовали правила работы с многочленами и алгебраическими дробями, формулы сокращённого умножения и т. д. Теперь мы ввели новую операцию — операцию извлечения квадратного корня; мы установили некоторые свойства, что
a2=a;ab=ab;ab=ab;a2n=an,
 где \(a, b\) — неотрицательные числа.
Используя эти свойства, можно выполнить различные преобразования выражений, которые содержат данную операцию. Рассмотрим некоторые примеры, где все переменные принимают только неотрицательные значения.
Пример:
1. упрости выражение a2b4:
a2b4=a2b4=ab2.
 
2. Упрости выражение 16a49b6:
16a49b6=16a49b6=4a23b3.
 
3. Вынеси множитель из-под знака квадратного корня:
81a=81a=9a;
32a2=16a22=16a22=4a2.
 
4. Внеси множитель под знак квадратного корня:
22=42=42=8.
 
5. Выполни действия:
a+bab.
Пусть a=x,b=y. Тогда a+bab=x+yxy=x2y2.
Но x2=a;y2=b, значит, a+bab=ab.
 
6. Избавиться в данном алгебраическом выражении от иррациональности в знаменателе: 12.
 
Заметим, что значение дроби не изменится, если её умножить на единицу, которая представлена в виде дроби. В нашем случае, умножим выражение на дробь 22, получим: 12=1222=222=22.
Если в знаменателе дроби записан квадратный корень, то это значит, что в знаменателе содержится иррациональность. Преобразование выражения, чтобы знаменатель не содержал квадратных корней, называют освобождением от иррациональности в знаменателе.