Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня — урок. Единый государственный экзамен, ЕГЭ по математике 2021.

До сих пор мы с тобой выполняли преобразования только рациональных выражений, используя для этого правила действий над многочленами и алгебраическими дробями, формулы сокращённого умножения и т. д. Теперь мы ввели новую операцию — операцию извлечения квадратного корня; мы установили, что

\begin{array}{l} {(\sqrt{a})}^{2} = a; \\ \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}; \\ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}; \\ \sqrt{a^{2 n}} = a^{n}, \end{array}

где \(a, b\) — неотрицательные числа.

Используя эти формулы, можно выполнять различные преобразования выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Рассмотрим несколько примеров, причём во всех примерах будем предполагать, что переменные принимают только неотрицательные значения.

Пример:

1. упрости выражение

\sqrt{a^{2} b^{4}}

\sqrt{a^{2} b^{4}} = \sqrt{a^{2}} \cdot \sqrt{b^{4}} = a b^{2}

2. Упрости выражение

\sqrt{\frac{16 a^{4}}{9 b^{6}}}

\sqrt{\frac{16 a^{4}}{9 b^{6}}} = \frac{\sqrt{16 a^{4}}}{\sqrt{9 b^{6}}} = \frac{4 a^{2}}{3 b^{3}}

3. Вынеси множитель из-под знака квадратного корня:

\sqrt{81 a} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{a} = 9 \sqrt{a}

;

\sqrt{32 a^{2}} = \sqrt{16 \cdot a^{2} \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{a^{2}} \cdot \sqrt{2} = 4 a \sqrt{2}

4. Внеси множитель под знак квадратного корня:

2 \sqrt{2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8}

5. Выполни действия:

(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})

Пусть

\sqrt{a} = x, \sqrt{b} = y

. Тогда

(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b}) = (x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}

Но

x^{2} = a; y^{2} = b

, значит,

(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b

6. Преобразовать заданное алгебраическое выражение к такому виду, чтобы знаменатель дроби не содержал знаков квадратных корней:

\frac{1}{\sqrt{2}}

Воспользуемся тем, что значение дроби не изменится, если её числитель и знаменатель одновременно умножить на одно и то же отличное от нуля число или выражение. Умножив числитель и знаменатель дроби на

\sqrt{2}

, получим:

\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Если знаменатель алгебраической дроби содержит знак квадратного корня, то обычно говорят, что в знаменателе содержится иррациональность. Преобразование выражения к такому виду, чтобы в знаменателе дроби не оказалось знаков квадратных корней, называют обычно освобождением от иррациональности в знаменателе.

Вернуться в тему

Следующее задание

Отправить отзыв

Нашёл ошибку?

Сообщи нам!

1. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня

Теория: