Теория:

В \(18\) задании ЕГЭ обычно предлагается решить задачу с использованием свойств чисел. За это задание можно получить \(4\) балла.
Пример:
На доске написали три попарно различных натуральных числа.  Сумма  цифр первого числа равна второму числу, сумма цифр второго числа равна третьему числу.

а) Может сумма этих трёх чисел быть равной \(240\)?
б) Может сумма этих трёх чисел быть равной \(241\)?
в) Найди количество всех троек чисел, в которых третье число равно \(2\), а первое является трёхзначным.
Алгоритм выполнения задания
1. Определи вид задачи, выбери метод решения.
 
2. Если в пункте \(а\) или \(б\) ответ положительный, то приведи конкретный пример. Если ответ отрицательный — приведи доказательство, опровергающее гипотезу о возможности утверждения.
 
3. Для решения пункта \(в\) должна быть построена модель задачи или сделан перебор всех вариантов.
 
4. Запиши все шаги решения на чистовик разборчиво и кратко.
 
5. Запиши ответ.
Критерии оценивания
Верное решение задачи пункта \(a\) оценивается \(1\) баллом.  Верное решение задачи пункта \(б\) также оценивается \(1\) баллом. За верное решение пункта \(в\) можно получить \(2\) балла. Причём \(1\) балл — за искомую оценку, ещё \(1\) балл — за пример, подтверждающий верность оценки.
Как решить задание из примера
1. Решим задачу пункта \(a\). Сумма трёх чисел может быть равной \(240\). Нетрудно подобрать пример: подходят числа \(227\), \(11\) и \(2\):
 
227+11+2=240.
 
2. Решим задачу пункта \(б\). Сумма цифр числа имеет такой же остаток при делении на \(3\), какой имеет само число. Три числа на доске имеют одинаковый остаток при делении на \(3\), их сумма должна делиться на \(3\). Число \(241\) не делится на \(3\). Значит, сумма не может быть равной \(241\).
 
3. Решим задачу пункта \(в\). Так как первое число трёхзначное, то сумма его цифр не больше \(27\). Значит, второе число не больше \(27\). Но сумма цифр второго числа равна \(2\), значит, второе число может быть только \(11\) и \(20\) (помним, что по условию три числа различные).
 
Задача свелась к подсчёту количества трёхзначных чисел с суммой цифр, равной \(11\) или \(20\).
 
Пусть сумма цифр числа равна \(11\), имеем:
с первой цифрой \(1\) девять чисел: 119,128,137,146,155,164,173,182,191;
с первой цифрой \(2\) десять чисел: 209,218,227,236,245,254,263,272,281,290;
с первой цифрой \(3\) девять чисел: 308,317,326,335,344,353,362,371,380;
с первой цифрой \(4\) восемь чисел: 407,416,425,434,443,452,461,470;
с первой цифрой \(5\) семь чисел: 506,515,524,533,542,551,560;
с первой цифрой \(6\) шесть чисел: 605,614,623,632,641,650;
с первой цифрой \(7\) пять чисел: 704,713,722,731,740;
с первой цифрой \(8\) четыре числа: 803,812,821,830;
с первой цифрой \(9\) три числа: 902,911,920.
Всего 9+10+9+8+7+6+5+4+3=61.
 
Пусть сумма цифр числа равна \(20\), имеем:
с первой цифрой \(1\) нет таких чисел;
с первой цифрой \(2\) одно число: 299;
с первой цифрой \(3\) два числа: 389,398;
с первой цифрой \(4\) три числа: 479,488,497;
с первой цифрой \(5\) четыре числа: 569,578,587,596;
с первой цифрой \(6\) пять чисел: 659,668,677,686,695;
с первой цифрой \(7\) шесть чисел: 749,758,767,776,785,794;
с первой цифрой \(8\) семь чисел: 839,848,857,866,875,884,893;
с первой цифрой \(9\) восемь чисел: 929,938,947,956,965,974,983,992.
Всего 1+2+3+4+5+6+7+8=36.
 
Количество чисел равно \(61+36=97\). Количество возможных троек чисел столько же.
 
4. Перепишем шаги решения в чистовик.
 
5. Запишем ответ.
 
Ответ: а) да; б) нет; в) \(97\).