Теория:

Задачи, представленные в задании \(18\) ЕГЭ, состоят из трёх пунктов. В пунктах \(а\) и \(б\) обычно нужно определить возможность выполнения указанных условий и ответить «да» или «нет». При положительном ответе необходимо привести пример, при отрицательном ответе — доказать, что условия не могут выполняться. В пункте \(в\) необходимо найти максимальное или минимальное значение величины при заданных условиях.
 
Для решения задачи пункта \(в\) иногда удобно сделать оценку и привести пример.
При использовании этого метода для нахождения наибольшего возможного значения величины \(m\):
1) показываем, что значение величины ограничено сверху mM;
2) приводим пример,  в котором \(m=M\);
3) делаем вывод, что наибольшее значение \(m\) равно\(M\).
Повтори свойства чисел
1. Признаки делимости
Число делится на \(11\), если сумма цифр, стоящих на чётных местах равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах, или разность этих сумм кратна \(11\).
 
 
3. Основная теорема арифметики
 
Любое натуральное число (кроме \(1\)) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители, причём единственным образом.
 
4. Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК)
 
5. Свойства арифметической прогрессии
 
6. Свойства геометрической прогрессии
 
7. Решение уравнений в целых числах (посмотри пример)
 
Может пригодиться
1) Если получили уравнение с несколькими натуральными переменными, то полезно проанализировать левую и правую части уравнения на положительность, делимость на конкретное число. Например, если левая часть уравнения делится на \(3\), то и правая часть уравнения тоже должна делиться на \(3\).
 
2) Полезно уметь выделять целую часть в выражении для оценки переменной:
 
x=4yy+2=4(y+2)42y+2=48y+2.
 
Если \(x\) и \(y\) — натуральные числа, то знаменатель дроби должен быть делителем числа \(8\). Получаем:
 
\(y=2\), \(x=2\);
\(y=6\), \(x=3\).
 
3) Иногда удобнее решить задачу в общем виде, а потом подбирать примеры в пунктах \(а\) и \(б\).