Теория:

Пример:
из натурального ряда чисел выбирается отрезок из \(21\) числа.
 
а) Верно ли, что в этом отрезке более семи простых чисел?
 
б) Верно ли, что в этой последовательности всегда найдётся число, делящееся на \(5\), но не делящееся на \(2\) и \(3\)?
 
в) Найди сумму первых чисел из таких отрезков с наибольшим количеством простых чисел.
Решение:
 
а) В последовательности, например, \(4\), \(5\), \(6\), … , \(25\) ровно \(7\) простых чисел.
 
Ответ: нет.
 
б) Рассмотрим произвольный отрезок из \(30\) чисел.
 
Пусть γ означает остаток от деления числа \(x\) на \(30\).
 
Тогда \(x = 30t\) \(+\) γ, где \(t\) — целое число 0, а γ \(=0\), \(1\), ...  , \(29\).
 
Если γ5, то x30t+5<x+20, и число \(30t+5\) есть число последовательности
\(x\), \(x+1\), ...  , \(x+20\), делящееся на \(5\), но не делящееся ни на \(2\), ни на \(3\).
 
Если же 5<γ25, то x30t+25<x+20, и число \(30t+25\) есть число последовательности
\(x\), \(x+1\),  ...  , \(x+20\),  делящееся на \(5\), но не делящееся ни на \(2\), ни на \(3\).
 
Если, наконец, 25<γ<30, то x<30t+35<x+20, и число \(30t+35\) есть число последовательности
\(x\), \(x+1\),  ...  , \(x+20\),  делящееся на \(5\), но не делящееся ни на \(2\), ни на \(3\). 
 
То есть в отрезок из \(21\) числа такое число обязательно попадёт.
 
Ответ: да.
 
в) В предыдущем пункте мы показали, что произвольный отрезок из \(21\) последовательного натурального числа содержит максимум семь простых.
 
Но есть последовательности \(x\), \(x+1\),  ...  , \(x+20\), с восемью простыми числами.
 
Очевидно, что это последовательности для \(x=1\), \(x=2\) и \(x=3\).
 
Сумма первых членов \(1+2+3=6\).
 
Ответ: \(6\).