Теория:

Физический (механический) смысл производной
 
Если  s(t)  — закон прямолинейного движения тела, то производная выражает мгновенную скорость в момент времени  \(t\):
 
v=s(t).
 
Геометрический смысл производной
 
Если к графику функции f(x) в точке с абсциссой  \(x=a\) можно провести касательную, не параллельную оси  \(y\), то  f(a)  выражает угловой коэффициент этой касательной:
 
k=f(a).
 
производная_1.png
Рис. 1.
 
Поскольку угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси \(x\), то верно равенство:
 
f(a)=tgα.
 
Причём tgα \(>0\), если угол острый (прямая — возрастающая функция), и tgα \(<0\), если угол тупой (прямая — убывающая функция).
 
Если α является острым углом, то tgα \(>0\), и производная имеет положительное значение.
Если α является тупым углом, то tgα \(<0\), и производная имеет отрицательное значение.
 
Подробнее можно посмотреть следующую информацию:
Свойства производной для исследования функций
  1. Если в каждой точке интервала \((a\), \(b)\) f(x)  \(0\), то функция на интервале возрастает.
  2. Если в каждой точке интервала \((a\), \(b)\) f(x)  \(0\), то функция убывает на этом интервале.
  3. Если точка x0 — точка максимума или точка минимума функции, то f(x) \(=0\) или f(x) не существует в этой точке.
  4. Если при переходе через точку x0 производная функции меняет знак, то x0 — точка экстремума функции f(x).
Подробнее можно посмотреть следующую информацию: