Теория:

В задании \(6\) ЕГЭ по профильной математике нужно применить знания о производной и первообразной функции для её исследования. За это задание можно получить \(1\) балл.
Пример:
на рисунке изображены график функции \(y=\) f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найди значение производной функции f(x) в точке x0.
к1.png
 
Рис. \(1\). График функции и касательная к нему
Алгоритм выполнения задания
  1. Изучи текст задачи. Если дан рисунок, обрати внимание, что на нём изображено: график функции или график производной функции. От этого зависит, что ты можешь узнать по графику.
     
  2. Определи по рисунку нужные значения. Сопоставь их с поведением самой функции или её производной, первообразной этой функции.
     
  3. Выполни вычисления.
     
  4. Внеси полученное число в ответ.
Как решить задание из примера?
  1. На рисунке изображён график функции и касательная к нему. Найди две точки касательной, находящиеся в узлах клеток. 
     
  2. Построй прямоугольный треугольник с гипотенузой, лежащей на касательной, причём обязательно вершины треугольника должны находиться в узлах клеток (рис. \(2\)). 

    к1_готово.png

    Рис. \(2\). Касательная к графику функции с дополнительными построениями
      
  3. Значение производной функции f(x) в точке x0 равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой точке и тангенсу угла наклона касательной к оси \(x\):

    f(x0)=k=tgα.
     
    Угол наклона касательной к оси \(x\) равен соответственному углу в построенном прямоугольном треугольнике. Найдём его тангенс как отношение противолежащего катета к прилежащему:

    f(x0)=tgα=28=0,25.
     
  4. Запишем ответ (непосредственно в самом задании — без точки в конце).

    Ответ: \(0,25\).
 
Обрати внимание!
В заданиях «Как на ЕГЭ» ответы записывай в виде целого числа или десятичной дроби без пробелов и точки в конце.

Если получилась обыкновенная дробь и её нельзя перевести в конечную десятичную дробь — ищи ошибку в решении!
Что можно найти, если дан график функции?
1. Промежутки возрастания и убывания функции. Знак производной на определённом интервале.
2. Точки максимума и минимума функции, их количество. Количество точек, в которых производная равна нулю.
3. Количество касательных, параллельных данной прямой.
4. Значение производной в точке, если даны две точки, через которые проходит касательная.
Что можно найти, если дан график производной функции?
1. Определить интервалы возрастания/убывания самой функции.
2. Точки минимума и максимума функции. Их количество.
3. Определить точки из заданного промежутка, в которых функция имеет максимальное (минимальное) значение.
Источники:
Рис. 1. График функции и касательная к нему. © ЯКласс.
Рис. 2. Касательная к графику функции с дополнительными построениями. © ЯКласс.