Теория:

Виды простых уравнений и способы их решения были рассмотрены в теории задания \(1\). Решение уравнения в задании \(12\) требует умения применять методы решения уравнений, знания формул степеней, логарифмов, тригонометрии. Уравнение может иметь несколько корней. Все корни, указанные в ответе, должны принадлежать области определения уравнения.
 
Три правила используют для нахождения области определения.
    Обрати внимание!
  • Нельзя делить на нуль. Поэтому знаменатель не равен нулю, делитель не равен нулю. Если уравнение содержит тангенс или котангенс, то из области определения нужно исключить значения, в которых равны нулю косинусы или синусы соответственно.
  • Нельзя извлекать корень из отрицательного числа.
  • Нельзя находить логарифм по отрицательному основанию, из отрицательного числа, и в основании логарифма не должна стоять единица.
При указании области определения уравнения она должна указываться правильно, то есть должны быть записаны все ограничения, решены полученные уравнения и неравенства.
 
При решении уравнений важно знать, какие преобразования приводят к равносильным уравнениям, а какие — к уравнениям-следствиям.
 
Когда нахождение области определения делает решение уравнения громоздким, удобно использовать равносильные преобразования.
 
1. Показательные уравнения:
 
ax=bx=logab,еслиa>0,b>0,a1,,еслиa=1,b1,любое,еслиa=1,b=1.
 
В частных случаях удобно использовать метод уравнивания показателей.
 
ag(x)=ah(x),a>0,a1g(x)=h(x).f(x)g(x)=f(x)h(x)g(x)=h(x),f(x)>0,f(x)=1,xD(g),xD(h),
 
где \(D(g)\) — область определения функции \(g(x)\), \(D(h)\) — область определения функции \(h(x)\).
ax>0 при всех \(a>0\) и x.
 
При \(a>1\) степенная функция y=ax возрастает, а при \(0<a<1\) — убывает на всей числовой прямой.
2. Логарифмические уравнения:
 
logag(x)=b,a>0,a1g(x)=ab.logag(x)=logah(x)g(x)=h(x),g(x)>0.
При \(a>1\) логарифмическая функция y=logax возрастает, а при \(0<a<1\) — убывает на всей числовой прямой.
3. Иррациональные уравнения:
 
f(x)2m+1=h(x)f(x)=h(x)2m+1.f(x)2m+1=g(x)2m+1f(x)=g(x).f(x)2m=h(x)f(x)=h(x)2m,h(x)0.f(x)2m=g(x)2mf(x)=g(x),f(x)0.
 
4. Распадающиеся уравнения:
 
f(x)g(x)=0f(x)=0,xD(g),g(x)=0,xD(f),
 
где \(D(g)\) — область определения функции \(g(x)\), \(D(f)\) — область определения функции \(f(x)\).
 
5. Дробные уравнения:
 
f(x)g(x)f(x)=0,g(x)0.
 
6. Уравнения с модулем:
 
f(x)=g(x)g(x)>0,f(x)=g(x),f(x)=g(x).