Теория:

Пример:
а) реши уравнение  sinx=cos2x.
б) Найди все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 2π;7π2.
a) Уравнение прежде всего иррациональное, поэтому решается возведением обеих частей в квадрат. С учётом области определения получаем:
 
sinx=cos2x;sinx0,cos2x0.
 
Стоит заметить, что рассматривать оба неравенства в системе нам не нужно, так как мы будем решать уравнение. Поэтому можно оставить только одно — более простое неравенство:
 
sinx=cos2x;(1)sinx0.
 
Решим уравнение системы \((1)\). Прежде всего избавимся от двойного угла в уравнении:
 
sinx=cos2x;sinxcos2x=0;sinx(cos2xsin2x)=0;sinx(1sin2xsin2x)=0;sinx(12sin2x)=0;2sin2x+sinx1=0;sinx=1,sinx=12.
 
\(sin x= -1\) исключаем, так как это значение не входит в область определения, а решения второго уравнения обозначим на тригонометрической окружности.
4.png
Рис. \(1\). Решения уравнения на единичной окружности
 
Эти решения можно записать в виде:
 
x=π6+2πn,n,x=5π6+2πm,m.
 
б) Рассмотрим три способа отбора корней, попадающих в отрезок 2π;7π2.
\(1\) способ:
 
вернёмся к единичной окружности. Отметим на ней дугу, соответствующую указанному промежутку, подпишем начало и конец, отметим точки окружности, представляющие серии решений и принадлежащие дуге, укажем их значения, принадлежащие промежутку.
 
2π+π6=13π6,2π+5π6=17π6.
 
окр3.png
Рис.  \(2\). Отбор корней с помощью единичной окружности
  
Обрати внимание!
Нельзя отмечать и подписывать посторонние точки на окружности!
\(2\) способ:
  
указанный отрезок соответствует неравенству 2πx7π2. Подставим в него полученные корни:
 
2ππ6+2πn7π2,n:π;216+2n72,n16;2162n7216,n;1162n206,n:2;1112n2012,n;1112n1812,n;n=1;π6+2π1=13π62π5π6+2πm7π2,m:π;256+2m72,m56;2562m7256,m;762m166,m:2;712m1612,m;712m1412,m;m=1;5π6+2π1=17π6
 
Обрати внимание!
Обязательно выдели целые части дробей для оценки значений \(n\) и \(m\)!
\(3\) способ:
  
разместим корни уравнения на числовой прямой. Сначала отметим корни, подставив вместо \(n\) и \(m\) \(0\), а потом добавим к каждому корню периоды. На числовой прямой должен быть выделен заданный отрезок, обозначены его концы, отмечены все последовательные значения серий корней, начиная с точек, расположенных левее промежутка, и заканчивая точками, расположенными правее промежутка.
j2.png
Рис.  \(3\). Отбор корней с помощью координатной прямой
  
Нам останется только выбрать корни, которые попали в нужный нам отрезок.
 
Ответ: а) π6+2πn,n;5π6+2πm,m; б) 13π6,17π6.
Рекомендуем при решении тригонометрических уравнений использовать несколько разных способов отбора. Это поможет тебе убедиться в правильности отбора корней и выработать навык выбора наиболее удобного способа.
Источники:
Рис. 1. Решения уравнения на единичной окружности. © ЯКласс.
Рис. 2. Отбор корней с помощью единичной окружности. © ЯКласс.
Рис. 3. Отбор корней с помощью координатной прямой. © ЯКласс.