Теория:

Задачи на вклады, кредиты, оптимизацию, представленные в задании \(15\) ЕГЭ, требуют составления математической модели реальной ситуации и часто громоздких вычислений. Поэтому важно знать алгоритм решения задач разных типов и умения упрощать вычисления на любом этапе решения задания.
Основные типы задач
1. Задачи на вклады.

В таких задачах деньги вкладываются в банк под проценты или в проекты, которые ежегодно дают прирост средств.

Через год вложенные средства увеличиваются на r%, и их размер становится равным S(1+r100) или Sk рублей.
Ещё через год средства опять увеличиваются на r%, и их размер уже составляет S(1+r100)2 или Sk2 рублей.
Если средства увеличиваются на r% каждый год, то через \(n\) лет их размер будет составлять S(1+r100)n или Skn рублей.

Варианты условий всевозможные: вкладываются дополнительные средства, сравниваются два вклада или два проекта и так далее.
 
2. Задачи на кредиты.

Удобно ввести обозначения:

\(S\) — первоначальная сумма долга;
\(n\) — количество платёжных периодов (месяцев, лет);
\(r\) — процент по кредиту, начисляемый банком;
\(X\) — выплата;
p=r100 — процент, выраженный дробью;
k=1+r100 — коэффициент для начисления процентов.

При увеличении долга на r% сумма долга составит S(1+r100) или Sk.
Коэффициент \(k\) показывает, во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления банком  процентов.

\(I\) схема: если есть информация о платежах, например выплаты производятся равными платежами. Тогда последняя выплата должна погасить остаток долга.

(...((SkX)kX)...)kX=0;SknX(kn1+kn2+...+k2+k+1)=0.

Применим формулу геометрической прогрессии для выражения в скобках:

SknXkn1k1=0.

\(II\) схема: если есть информация об изменении суммы долга, например сумма долга уменьшается равномерно. В таком случае каждая выплата состоит из двух частей: погашения начисленных процентов и фиксированной части тела кредита (чтобы долг уменьшился на 1nS рублей).

Месяцы
Долг до начисления %, руб.
Долг после начисления %, руб.
Выплата, руб.
\(1\)
\(S\)
\(Sk\)
Sp+1nS
\(2\)
n1nS
n1nSk
n1nSp+1nS
...
...
...
...
\(n\)
1nS
1nSk
1nSp+1nS
\(n+1\)
\(0\)
 
 

Сумма выплат равна (сгруппируем подобные слагаемые и применим формулу арифметической прогрессии для облегчения вычислений в скобках):

A=(Sp+n1n+...+2nSp+1nSp)+n1nS=Sp(1+n1n+...+2n+1n)+S=Spn+12+S.

3. Задачи на оптимизацию.

В таких задачах нужно выразить функцию и найти её максимальное или минимальное значение. Иногда для этого нужно вычислить производную функции (табличные значения производных).
 
Задача \(15\) ЕГЭ любого типа обычно решается уравнением или неравенством. Для составления уравнения или неравенства важно составить таблицу или схему, в ней легче увидеть закономерности в условии задачи.