Теория:

В \(16\) задании ЕГЭ нужно решить задачу по планиметрии. За верно выполненное задание можно получить \(3\) балла. 
Пример:
в треугольнике \(ABC\) биссектриса угла \(A\) пересекает сторону \(BC\) и точке \(L\).
\(LP\) — серединный перпендикуляр к стороне \(AB\). 
 
а) Докажите, что AC2=BCCL.
б) Найди радиус окружности, вписанный в треугольник \(ALC\), если  \(AC=18\), sinB=74.
Алгоритм выполнения задания
1. Прочитай внимательно задачу, выполни рисунок. Если нужно, сделай дополнительные построения.
2. Вспомни необходимые определения, теоремы.
3. Выполни на черновике доказательство пункта \(a\) и решение пункта \(б\).
4. Запиши все шаги решения обоих пунктов на чистовик разборчиво и кратко.
5. Запиши ответ пункта \(б\).
Критерии оценивания
Если ход решения верный и обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах, то решение оценивается в \(3\) балла.
\(2\) балла можно получить за верно решённый пункт \(б\), если задача решена без использования утверждения пункта \(а\).
\(1\) балл  — если выполнен пункт \(а\) или решён пункт \(б\) с использованием утверждения пункта \(а\) (без его доказательства).
Если допущена одна арифметическая ошибка и в результате получен неверный ответ — минус \(1\) балл.
Как решить задание из примера
1. Выполним рисунок к задаче (рис. \(1\)).
 
Как.png
Рис. \(1\). Пирамида
 
2. Вспомним:
  • определение биссектрисы треугольника;
  • определение серединного перпендикуляра;
  • \(I\) признак равенства треугольников;
  • \(I\) признак подобия треугольников;
  • свойство внешнего угла треугольника;
  • теорема синусов;
  • формула площади треугольника S=12absinγ;
  • формула площади треугольника S=pr.
 
3. Докажем утверждение пункта \(a\).
 
\(LP\) — серединный перпендикуляр, LPBA,AP=PB.

AP=PBLPB=LPA=90°LPобщаяΔLPB=ΔLPA, поэтому ABC=BAL=LAC.  

ABC=CALC общийΔABCΔLAC по двум углам, поэтому
 
ACBC=CLAC;
 
AC2=BCCL.
 
4. Решим задачу пункта \(б\).
 
Обозначим ABC=BAL=LAC \(=\) α.
Угол \(ALC\) — внешний угол треугольника \(ABL\):
ALC=2α.
 
По теореме синусов:
 
CLsinα=ACsin2α;CL=ACsinαsin2α=ACsinα2sinαcosα=AC2cosα=1820,75=12.
 
BC=BL+CL=AL+CL, поэтому:
 
AC2=BCCL=(AL+CL)CL;AL+CL=AC2CL;AL=AC2CLCL=1821212=15.SACL=12ACALsinα=12181574=13574.
 
Обозначим \(r\) — радиус окружности, вписанной в треугольник \(ACL\).
 
S=pr;p=AC+AL+CL2=452;r=Sp=13574452=372.
 
5. Запишем ответ.
 
Ответ: б) 372.
Источники:
Рис. 1. Пирамида. © ЯКласс.