Теория:

Теорема о трёх перпендикулярах — один из наиболее часто встречающихся геометрических фактов в \(13\) задании ЕГЭ.
 
Пусть есть плоскость α, прямая \(AC\), пересекающая плоскость, и её проекция \(BC\).
рис1.PNG
Рис. \(1\). Теорема о трёх перпендикулярах
 
Согласно теореме о трёх перпендикулярах имеем: bα,bBCbAC.
 
Важно понимать следующие моменты:
  • о каких трёх перпендикулярах идёт речь. Два перпендикуляра  очевидны — bBC,bAC. Третий перпендикуляр — \(AB\). Это не только перпендикуляр к плоскости, но и перпендикуляр к прямой \(b\).

  • Полезно уметь доказывать теорему. Перпендикулярность прямых \(AC\) и \(b\) следует из перпендикулярности прямой \(b\) плоскости, которая проходит через пересекающиеся прямые \(AB\) и \(BC\). Так как прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости, а следовательно, и любой прямой в плоскости, в том числе и \(AC\). Таким образом, можно доказывать перпендикулярность прямых, ссылаясь не на теорему о трёх перпендикулярах, а на признак перпендикулярности прямой и плоскости и свойство прямой, перпендикулярной плоскости:

    ABαABb,BCbbABCbAC.

  • Справедлива обратная теорема. То есть, если прямая перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной:

    ABαABb,ACbbABCbBC.
Исходя из вышесказанного, при доказательстве перпендикулярности прямых в пространстве можно идти разными путями:
  1. обосновать наличие наклонной, её проекции и перпендикулярность им некоторой прямой, ссылаясь на теорему о трёх перпендикулярах;
  2. ссылаться на признак перпендикулярности некоторой прямой плоскости, натянутой на две перпендикулярные этой прямой прямые.
Источники:
Рис. 1. Теорема о трёх перпендикулярах. © ЯКласс.