Теория:

Всегда пишутся слитно с не
1. Слова разных частей речи, которые не употребляются без не:
 
ненастье, незабудка;
невежественный, невзрачный;
неизбежно, нелепо;
несдобровать, нездоровится;
негодуя, ненавидя.
  
2. Неопределённые и отрицательные местоимения (местоименные слова):
 
некоторый, нечто, некого, некогда, несколько, некто, незачем.
 
Обрати внимание!
При появлении предлога местоимения пишутся в три слова:
 
не у кого, не с кем, не о чем, не для чего.
 
3. Запомни служебные слова, которые пишутся с не слитно:
частицы
союзы
предлоги
неужели
неужто
нехай
небось
нешто
нежели
несмотря на
невзирая на
 
 
несмотря на
невзирая на
независимо от
 
  
 
Обрати внимание!
Различай служебные слова несмотря на, невзирая на и деепричастия:
 
НЕСМОТРЯ НА
НЕ СМОТРЯ НА
Союз или предлог.
 
Значение уступки («вопреки»).
 
Несмотря на дождь, я вышел из дома (предлог; \(=\) вопреки дождю).
 
Мы пошли в кино, несмотря на то что было много домашней работы (союз, \(=\) вопреки тому, что было много домашней работы)
Деепричастие.
 
Значение «смотря глазами».
 
Он с минуту просидел неподвижно, хмурясь и не смотря на меня (деепричастие; \(=\) не смотрел глазами)
 
 
  
Всегда пишутся раздельно с не
1. Глаголы и деепричастия (кроме тех, которые не употребляются без не):
 
не обижаться, не танцевать;
не понимая, не перебивая.
  
Обрати внимание!
В глаголах и образованных от них словах может выделяться приставка недо-, которая придаёт значение несоответствия требуемой норме.
 
НЕДО-
НЕ ДО-
Недосыпать из-за работы (т. е. не спать сколько нужно в норме).
 
Недосмотреть за ребёнком (т. е. невнимательно следить; к тому же нет слова *досмотреть в значении «следить за кем-то, присматривать»)
Не досмотрели фильм (т. е. посмотрели не до конца, его можно досмотреть).
 
Не доработал до пенсии (т. е. работал не до конца определённого срока)
  
2. Краткие причастия:
 
не устроен, не решена, не дописаны.
 
3. Числительные:
 
не восемь, не двадцатый, не пятеро.
 
4. Наречия (кроме наречий на ) и формы степеней сравнения наречий:
 
не сейчас, не дома, не завтра;
не лучше, не сильнее, не самый жуткий.
 
5. Слова категории состояния:
 
(мне) не холодно, не жаль.
 
6. Местоимения (кроме неопределённых, отрицательных без предлога):
 
не ты, не наш, не своя, не себя, не тот. 
 
7. Слова, написанные через дефис:
 
не плащ-палатка, не ярко-розовый, не по-летнему.
Источники:
http://old-rozental.ru, Д. Э. Розенталь. Справочник по русскому языку: орфография и пунктуация.