Теория:

Обстоятельство — это второстепенный член предложения, который называет различные обстоятельства и условия происходящих событий или выполняемых действий (место, время, причину, цель, количество, степень проявления, образ действия и т. д.).
Обособленные обстоятельства могут быть выражены:
  • деепричастием или деепричастным оборотом.

    В одной лавке видели прекрасную серую кошку; через толстое стекло она, мяукая, здоровалась с людьми (В. Хлебников. Октябрь на Неве);

  • уступительным оборотом.

    Несмотря на юный, очень юный возраст, Нинон уже пользовалась громкой известностью всюду, где интересовались танцами (Л. Чарская. Босоножка Нинон);

  • сравнительным оборотом.

    Я через всю свою жизнь, как через тысячу лет, пронёс это воспоминание (М. Пришвин. Глаза земли);

  • сочетанием производного предлога с существительным.

    Савельич, согласно с мнением ямщика, советовал воротиться (А. Пушкин. Капитанская дочка).
Обстоятельства, выраженные деепричастным оборотом
Деепричастный оборот (или одиночное деепричастие), выполняя обстоятельственную функцию в предложении, обычно выделяется запятыми независимо от положения в предложении.

На перекрёстке, откинувшись к стенке, дремал с разинутым ртом чистильщик сапог у медного ящичка (А. Толстой. На острове Халки). 
 
Рассмотрим случаи, когда деепричастный оборот не выделяется запятыми.
 
1) Деепричастный оборот — фразеологизм.
 
Вы, конечно, считаете за труд лететь сломя голову впереди эскадрона и брать барьеры на скачках (А. Куприн. Гранатовый браслет).
 
2) Деепричастие перешло в наречие (стоя, сидя, лежа, молча, шутя, нехотя) и непосредственно примыкает к глаголу.
 
Варя окидывает взглядом комнату и не спеша уходит (А. Чехов. Вишнёвый сад).
 
Обычно такие деепричастия примыкают к глаголам-сказуемым со значением движения (идти, бежать и т. д.), положения в пространстве (сидеть, стоять, лежать и т. д.)
 
3) В деепричастный оборот, который находится внутри придаточного определительного, включается союзное слово который.
 
Сверстов тотчас принялся писать письмо, окончив которое он немедля же загасил свечку (А. Писемский. Масоны).
Употребление деепричастного оборота с союзами
Союзы и союзные слова не включаются в состав деепричастного оборота, это значит, что между союзом и деепричастным оборотом нужно поставить запятую.
 
Пампасов шумно вздохнул, повалился навзничь и, подняв с полу книгу, погрузился в чтение (А.  Аверченко. Камень на шее).
Он полагал, что, выбежав из леса, увидит солдат, стреляющие пушки, битву (А. Толстой. Обыкновенный человек).
 
Обрати внимание!
Исключением становится союз а, но только в том случае, когда его нельзя отделить от деепричастного оборота.
Проверить это можно, исключив оборот из предложения и оставив союз на месте.
 
1. У Борьки родилась уже мысль не разыскивать дальше Авдотью Семёновну, а, опустившись прямо на каменную площадку, забиться куда-нибудь в угол, свернуться калачиком и заснуть (С. Гарин. Борька).
Без деепричастного оборота с союзом а предложение не теряет логику.
У Борьки родилась уже мысль не разыскивать дальше Авдотью Семёновну, а забиться куда-нибудь в угол, свернуться калачиком и заснуть.
Значит, между оборотом и союзом нужно поставить запятую.
 
2. Дядя Яков любовно настраивал гитару, а настроив, говорил всегда одни и те же слова:
― Ну-с, я начну-с! (М. Горький. Детство).
Союз а не употребляется в предложении без деепричастного оборота.
*Дядя Яков любовно настраивал гитару, а говорил всегда одни и те же слова:
― Ну-с, я начну-с!
Это значит, что между союзом и деепричастным оборотом запятая не ставится.
Источники:
http://old-rozental.ru, Д. Э. Розенталь. Справочник по русскому языку: орфография и пунктуация.
http://orthographia.ru, Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / Под ред. В. В. Лопатина.