Теория:

Свободное падение — явление движения в вакууме. Экспериментально доказан факт свободного падения тел с одинаковым значением ускорения \(g\) (рис. \(1\)). При наличии воздуха используется идеализированная модель свободного падения.
 
2 (1).png
 
Рис. \(1\). Изображение опыта
  
Векторное и скалярное уравнения скорости материальной точки при свободном падении
1)  Общий вид:
  • векторное уравнение — \(\vec{v}\)  \(=\)  \(\vec{v}(t)\)  \(=\)  \(\vec{v}{_0}\)  \(+\)  \(\vec{a}(t - t_0)\);
  • числовые (скалярные) уравнения — \(v_x(t)\)  \(=\)  \(v_{0x}\)  \(+\)  \(a_x(t - t_0)\), 
    \(v_y(t)\)  \(=\)  \(v_{0y}\)  \(+\)  \(a_y(t - t_0)\),  \(v_z(t)\)  \(=\)  \(v_{0z}\)  \(+\)  \(a_z(t - t_0)\).    
2)  Свободное падение:
  • векторное уравнение — \(\vec{v}(t)\)  \(=\)  \(\vec{v}{_0}\)  \(+\)  \(\vec{g}(t - t_0)\)
где \(\vec{v}{_0}\) — скорость тела в начальный момент времени \({t_0}\), \(\vec{v}(t)\) — скорость тела в произвольный момент
времени \(t\);
  • числовые (скалярные) уравнения  — \(v_x(t)\)  \(=\)  \(v_{0x}\)  \(+\)  \(g_x(t - t_0)\), 
\(v_y(t)\)  \(=\)  \(v_{0y}\)  \(+\)  \(g_y(t - t_0)\),  \(v_z(t)\)  \(=\)  \(v_{0z}\)  \(+\)  \(g_z(t - t_0)\);    
  • модуль скорости: υ(t)=υx2(t)+υy2(t).
Если ось \(OX\) направлена горизонтально, а ось \(OY\) вертикально вниз, то: \(v_x(t)\)  \(=\)  \(v_{0x}\)  \(=\)  \(0\) ,
\(v_y(t)\)  \(=\)  \(v_{0}\)  \(+\)  \(g(t - t_0)\).
Векторное и скалярное уравнения движения материальной точки при свободном падении
1)  Общий вид:
  • векторное уравнение — \(\vec{r}\)  \(=\)  \(\vec{r}{_0}\)  \(+\)  \(\vec{v_0}\) \({(t - t_0)}\)  \(+\)  \(\frac{\vec{a}(t - t_0)^2}{2}\);
  • числовые (скалярные) уравнения — \(x(t)\)  \(=\)  \({x_0}\)  \(+\)  \(v_{0x}\)\({(t - t_0)}\) \(+\)  \(\frac{a_x (t - t_0)^2}{2}\),      
    \(y(t)\)  \(=\)  \({y_0}\)  \(+\)  \(v_{0y}\)\({(t - t_0)}\)  \(+\)  \(\frac{a_y (t - t_0)^2}{2}\),       \(z(t)\)  \(=\)  \({z_0}\)  \(+\)  \(v_{0z}\)\({(t - t_0)}\)  \(+\)  \(\frac{a_z (t - t_0)^2}{2}\).   
2)  Свободное падение:
  • векторное уравнение — \(\vec{r}(t)\)  \(=\)  \(\vec{r}{_0}\)  \(+\)  \(\vec{v_0}\) \({(t - t_0)}\)  \(+\)  \(\frac{\vec{g}(t - t_0)^2}{2}\)
где \(\vec{r}{_0}\) — радиус-вектор исследуемой точки в начальный момент времени \({t_0}\), \(\vec{r}(t)\) — радиус-вектор исследуемой точки в произвольный момент времени \(t\);
  • числовые (скалярные) уравнения  — \(x(t)\)  \(=\)  \({x_0}\)  \(+\)  \(v_{0x}\)\({(t - t_0)}\) \(+\)  \(\frac{g_x (t - t_0)^2}{2}\),      
\(y(t)\)  \(=\)  \({y_0}\)  \(+\)  \(v_{0y}\)\({(t - t_0)}\)  \(+\)  \(\frac{g_y (t - t_0)^2}{2}\),       \(z(t)\)  \(=\)  \({z_0}\)  \(+\)  \(v_{0z}\)\({(t - t_0)}\)  \(+\)  \(\frac{g_z (t - t_0)^2}{2}\);
  • уравнения координат для модулей физических величин (ось \(OX\) направлена горизонтально, а ось \(OY\) вертикально вниз):
\(x(t)\)  \(=\)  \(0\) ,  \(y(t)\)  \(=\)  \({y_0}\)  \(+\)  \(v_{0}\)\({(t - t_0)}\)   \(+\)  \(\frac{g(t - t_0)^2}{2}\). 
   
Источники:
Рис. 1. Изображение опыта. © ЯКласс.