Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Векторное и скалярное уравнения скорости материальной точки для движения под углом к горизонту

1) Общий вид:

векторное уравнение — \(\vec{v}\) \(=\) \(\vec{v}(t)\) \(=\) \(\vec{v}{_0}\) \(+\) \(\vec{a}(t - t_0)\);
числовые (скалярные) уравнения — \(v_x(t)\) \(=\) \(v_{0x}\) \(+\) \(a_x(t - t_0)\),
\(v_y(t)\) \(=\) \(v_{0y}\) \(+\) \(a_y(t - t_0)\), \(v_z(t)\) \(=\) \(v_{0z}\) \(+\) \(a_z(t - t_0)\).

2) Движение тела, брошенного под углом к горизонту:

векторное уравнение — \(\vec{v}(t)\) \(=\) \(\vec{v}{_0}\) \(+\) \(\vec{g}(t - t_0)\),

где \(\vec{v}{_0}\) — скорость тела в начальный момент времени \({t_0}\), \(\vec{v}(t)\) — скорость тела в произвольный момент времени \(t\);

числовые (скалярные) уравнения — \(v_x(t)\) \(=\) \(v_{0x}\) \(+\) \(g_x(t - t_0)\),

\(v_y(t)\) \(=\) \(v_{0y}\) \(+\) \(g_y(t - t_0)\), \(v_z(t)\) \(=\) \(v_{0z}\) \(+\) \(g_z(t - t_0)\).

Векторное и скалярное уравнения движения материальной точки при движении под углом к горизонту

1) Общий вид:

векторное уравнение — \(\vec{r}\) \(=\) \(\vec{r}{_0}\) \(+\) \(\vec{v_0}\) \({(t - t_0)}\) \(+\) \(\frac{\vec{a}(t - t_0)^2}{2}\);
числовые (скалярные) уравнения — \(x(t)\) \(=\) \({x_0}\) \(+\) \(v_{0x}\)\({(t - t_0)}\) \(+\) \(\frac{a_x (t - t_0)^2}{2}\),

\(y(t)\) \(=\) \({y_0}\) \(+\) \(v_{0y}\)\({(t - t_0)}\) \(+\) \(\frac{a_y (t - t_0)^2}{2}\), \(z(t)\) \(=\) \({z_0}\) \(+\) \(v_{0z}\)\({(t - t_0)}\) \(+\) \(\frac{a_z (t - t_0)^2}{2}\).

2) Движение тела, брошенного под углом к горизонту:

векторное уравнение — \(\vec{r}(t)\) \(=\) \(\vec{r}{_0}\) \(+\) \(\vec{v_0}\) \({(t - t_0)}\) \(+\) \(\frac{\vec{g}(t - t_0)^2}{2}\),

где \(\vec{r}{_0}\) — радиус-вектор исследуемой точки в начальный момент времени \({t_0}\), \(\vec{r}(t)\) — радиус-вектор исследуемой точки в произвольный момент времени \(t\);

числовые (скалярные) уравнения — \(x(t)\) \(=\) \({x_0}\) \(+\) \(v_{0x}\)\({(t - t_0)}\) \(+\) \(\frac{g_x (t - t_0)^2}{2}\),

\(y(t)\) \(=\) \({y_0}\) \(+\) \(v_{0y}\)\({(t - t_0)}\) \(+\) \(\frac{g_y (t - t_0)^2}{2}\), \(z(t)\) \(=\) \({z_0}\) \(+\) \(v_{0z}\)\({(t - t_0)}\) \(+\) \(\frac{g_z (t - t_0)^2}{2}\).

Пример:

Рис. \(1\). Тело, брошенное под углом к горизонту

1. Уравнения движения (\(\Delta{t} = t - t_0\)):

\begin{array}{l} x (t) = x_{0} + υ_{0 x} Δ t + \frac{g_{x} {Δ t}^{2}}{2}; (1) \\ y (t) = y_{0} + υ_{0 y} Δ t + \frac{g_{y} {Δ t}^{2}}{2} . (2) \end{array}

2. Начало координат выбрано таким образом, что \(x_0 = 0\) и \(y_0 = 0\). \((3)\)

3. Определим проекции начальной скорости и проекции ускорения \(g\) на оси \(OX\) и \(OY\):

Рис. \(2\). Проекции скорости

\begin{array}{l} υ_{0 x} = υ_{0} \cos α; (4) \\ υ_{0 y} = υ_{0} \sin α; (5) \\ g_{x} = 0; (6) \\ g_{y} = - g . (7) \end{array}

4. Подставим в формулу \(1\) и \(2\) формулы \(3\)–\(7\):

\begin{array}{l} x (t) = υ_{0} (\cos α) Δ t; (8) \\ y (t) = υ_{0} (\sin α) Δ t - \frac{g {Δ t}^{2}}{2} . (9) \end{array}

Полученные уравнения (\(8\), \(9\)) являются уравнениями координат для тела, брошенного под углом к горизонту.

Пример:

зависимость скорости от времени:

\begin{array}{l} υ_{x} (t) = υ_{0 x} = υ_{0} \cos α; \\ υ_{y} (t) = υ_{0 y} + g_{y} Δ t = υ_{0} \sin α - gt; \\ υ (t) = \sqrt{{{(υ}_{x} (t))}^{2} + {(υ_{y} (t))}^{2}} . \end{array}

Пример:

движение тела, брошенного горизонтально с высоты \(h_0\) (рис. \(3\)).

Рис. \(3\). Тело, брошенное горизонтально

1. Проекции ускорения и скорости:

\begin{array}{l} g_{x} = 0; \\ g_{y} = - g; \\ υ_{0 x} = υ_{0}; \\ υ_{0 y} = 0; \\ υ_{x} (t) = υ_{0}; \\ υ_{y} (t) = g_{y} t = - gt . \end{array}

2. Уравнения координат:

\begin{array}{l} x (t) = υ_{0} t; \\ y (t) = h_{0} + \frac{g_{y} {Δ t}^{2}}{2} = h_{0} - \frac{g {Δ t}^{2}}{2} . \end{array}

Источники:
Рис. 1. Тело, брошенное под углом к горизонту. © ЯКласс.
Рис. 2. Проекции скорости. © ЯКласс.
Рис. 3. Тело, брошенное горизонтально. © ЯКласс.

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующая теория

Отправить отзыв

Нашёл ошибку?

Сообщи нам!

5. Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Теория: