Теория:

Векторное и скалярное уравнения скорости материальной точки для движения под углом к горизонту
1)  Общий вид:
  • векторное уравнение — \(\vec{v}\)  \(=\)  \(\vec{v}(t)\)  \(=\)  \(\vec{v}{_0}\)  \(+\)  \(\vec{a}(t - t_0)\);
  • числовые (скалярные) уравнения — \(v_x(t)\)  \(=\)  \(v_{0x}\)  \(+\)  \(a_x(t - t_0)\), 
    \(v_y(t)\)  \(=\)  \(v_{0y}\)  \(+\)  \(a_y(t - t_0)\),  \(v_z(t)\)  \(=\)  \(v_{0z}\)  \(+\)  \(a_z(t - t_0)\).  
2)  Движение тела, брошенного под углом к горизонту:
  • векторное уравнение — \(\vec{v}(t)\)  \(=\)  \(\vec{v}{_0}\)  \(+\)  \(\vec{g}(t - t_0)\)
где \(\vec{v}{_0}\) — скорость тела в начальный момент времени \({t_0}\), \(\vec{v}(t)\) — скорость тела в произвольный момент
времени \(t\);
  • числовые (скалярные) уравнения  — \(v_x(t)\)  \(=\)  \(v_{0x}\)  \(+\)  \(g_x(t - t_0)\), 
\(v_y(t)\)  \(=\)  \(v_{0y}\)  \(+\)  \(g_y(t - t_0)\),  \(v_z(t)\)  \(=\)  \(v_{0z}\)  \(+\)  \(g_z(t - t_0)\).    
Векторное и скалярное уравнения движения материальной точки при движении под углом к горизонту
1)  Общий вид:
  • векторное уравнение — \(\vec{r}\)  \(=\)  \(\vec{r}{_0}\)  \(+\)  \(\vec{v_0}\) \({(t - t_0)}\)  \(+\)  \(\frac{\vec{a}(t - t_0)^2}{2}\);
  • числовые (скалярные) уравнения — \(x(t)\)  \(=\)  \({x_0}\)  \(+\)  \(v_{0x}\)\({(t - t_0)}\)  \(+\)  \(\frac{a_x (t - t_0)^2}{2}\),      
\(y(t)\)  \(=\)  \({y_0}\) \(+\) \(v_{0y}\)\({(t - t_0)}\)  \(+\)  \(\frac{a_y (t - t_0)^2}{2}\),       \(z(t)\)  \(=\)  \({z_0}\)  \(+\)  \(v_{0z}\)\({(t - t_0)}\)  \(+\)  \(\frac{a_z (t - t_0)^2}{2}\). 
 
2)  Движение тела, брошенного под углом к горизонту:
  • векторное уравнение — \(\vec{r}(t)\)  \(=\)  \(\vec{r}{_0}\)  \(+\)  \(\vec{v_0}\) \({(t - t_0)}\)  \(+\)  \(\frac{\vec{g}(t - t_0)^2}{2}\)
где \(\vec{r}{_0}\) — радиус-вектор исследуемой точки в начальный момент времени \({t_0}\), \(\vec{r}(t)\) — радиус-вектор исследуемой точки в произвольный момент времени \(t\);
  • числовые (скалярные) уравнения  — \(x(t)\)  \(=\)  \({x_0}\)  \(+\)  \(v_{0x}\)\({(t - t_0)}\)  \(+\)  \(\frac{g_x (t - t_0)^2}{2}\),      
\(y(t)\)  \(=\)  \({y_0}\) \(+\) \(v_{0y}\)\({(t - t_0)}\)  \(+\)  \(\frac{g_y (t - t_0)^2}{2}\),       \(z(t)\)  \(=\)  \({z_0}\)  \(+\)  \(v_{0z}\)\({(t - t_0)}\)  \(+\)  \(\frac{g_z (t - t_0)^2}{2}\). 
Пример:
 
8_0.png
 
Рис. \(1\). Тело, брошенное под углом к горизонту
  
1. Уравнения движения (\(\Delta{t} = t - t_0\)):
x(t)=x0+υ0xΔt+gxΔt22;(1)y(t)=y0+υ0yΔt+gyΔt22;(2)
2. Начало координат выбрано таким образом, что \(x_0 = 0\) и \(y_0 = 0\).   \((3)\)
3. Определим проекции начальной скорости и проекции ускорения \(g\) на оси \(OX\) и \(OY\):
8 (1).png
 
Рис. \(2\). Проекции скорости
 
υ0x=υ0cosα;(4)υ0y=υ0sinα;(5)gx=0;(6)gy=g.(7)
4. Подставим в формулу \(1\) и \(2\) формулы \(3 — 7\):
x(t)=υ0(cosα)Δt;(8)y(t)=υ0(sinα)ΔtgΔt22.(9)
 Полученные уравнения (\(8\), \(9\)) являются уравнениями координат для тела, брошенного под углом к горизонту.
Пример:
Зависимость скорости от времени:
υx(t)=υ0x=υ0cosα;υy(t)=υ0y+gyΔt=υ0sinαgt;υ(t)=(υx(t))2+(υy(t))2.
Пример:
Движение тела, брошенного горизонтально с высоты \(h_0\) (рис. \(3\)).
10.png
 
Рис. \(3\). Тело, брошенное горизонтально  
1. Проекции ускорения и скорости:
gx=0;gy=g;υ0x=υ0;υ0y=0;υx(t)=υ0;υy(t)=gyt=gt.
2. Уравнения координат:
x(t)=υ0t;y(t)=h0+gyΔt22=h0gΔt22.
Источники:
Рис. 1. Тело, брошенное под углом к горизонту. © ЯКласс.
Рис. 2. Проекции скорости. © ЯКласс.
Рис. 3. Тело, брошенное горизонтально. © ЯКласс.