Теория:

Скорость
Рассмотрим движение тела из точки \(A\) в точку \(B\) (рис. \(1\)). Траектория \(AB\) является криволинейной.
Введем понятие «средняя скорость».
На рисунке \(1\) показаны вектора перемещений тела \(\Delta{\vec{r_3}}\), \(\Delta{\vec{r_2}}\) и \(\Delta{\vec{r_1}}\) за различные сокращающиеся промежутки времени \(\Delta{t_3}\), \(\Delta{t_2}\) и \(\Delta{t_1}\).
  
криволинейноекоп.png
  
Рис. \(1\). Перемещения тела при криволинейном движении
  
Средняя скорость  равна отношению перемещения за конечный промежуток времени:
υ ср=ΔrΔt.
 Средняя скорость является векторной величиной:
  • направление средней скорости υ срΔr находится согласно математической формуле определения данной физической величины (сравни математическое выражение \(\vec{a}\) = \(\frac{\vec{b}}{2}\) и формулу средней скорости);
  • числовое значение средней скорости (модуль, проекции на координатные оси) определяется согласно геометрическим правилам работы с векторами;
  • физические понятия отличаются от математических понятий наличием единиц измерения ([\(v_{ср}\)] = [\(\frac{м}{с}\)]).
Участки траектории \(AB\), \(AD\) и \(AE\) (рис. 1) характеризуются, соответственно, средними скоростями:
\(\vec{v_{ср3}}\), \(\vec{v_{ср2}}\), \(\vec{v_{ср1}}\).
 
\(AB\)
\(AD\)
\(AE\)
\(\vec{v_{ср3}}\) = \(\frac{\Delta{\vec{r_3}}}{\Delta{t_3}}\)\(\vec{v_{ср2}}\) = \(\frac{\Delta{\vec{r_2}}}{\Delta{t_2}}\)\(\vec{v_{ср1}}\) = \(\frac{\Delta{\vec{r_1}}}{\Delta{t_1}}\)
  
Если уменьшать неограниченно промежуток времени \(\Delta{t}\), то быстрота движения тела характеризуется понятием «мгновенная скорость» (или «скорость»).
Математическая запись уменьшения промежутка времени: Δt0 (в математике существует понятие «предел», символ данного понятия — «lim»).
Физический смысл принципа уменьшения промежутка времени: на определенном этапе данной процедуры значения средней скорости будут приблизительно одинаковыми и определение физического понятия «средняя скорость» изменяется на физическое понятие «мгновенная скорость»
υ=limΔt0υ ср=limΔt0ΔrΔt.
Мгновенная скорость является векторной величиной:
  • вектор мгновенной скорости (далее — скорости) направлен по касательной к траектории в исследуемой точке (проверь, как на рисунке 1 «хорды — перемещения \(\Delta{\vec{r_3}}\), \(\Delta{\vec{r_2}}\) и \(\Delta{\vec{r_1}}\)» при уменьшении промежутков времени \(\Delta{t_3}\), \(\Delta{t_2}\) и \(\Delta{t_1}\) изображаются касательными, которые соответствуют векторам скоростей \(\vec{v_3}\), \(\vec{v_2}\), \(\vec{v_1}\)).
Ускорение
На рисунке \(1\) тело движется из точки \(E\) в точку \(D\), изменяя скорость от \(v_2\) до \(v_3\). Параллельным переносом перенесём вектор \(\vec{v_{3}}\) к \(\vec{v_{2}}\), тогда изменение скорости за промежуток времени \(\Delta{t}\) равно разности векторов
\((\vec{v_{3}}\)\(-\)\(\vec{v_{2}})\), что на рисунке \(1\) соответствует вектору ускорения \(\vec{a_{2}}\).
 Среднее ускорение равно отношению изменения скорости к промежутку времени:
aср=ΔυΔt.
Примечание:
1) в физических задачах при написании символа aср  индекс «ср», как правило, не прописывается;
2)  в ситуации прямолинейного неравномерного движения используется термин «ускорение».
 
Характеристики физического понятия «среднее ускорение»:
  • направление вектора среднего ускорения определяется согласно правилу aсрΔυ;
  • числовое значение ускорения (модуль, проекции на координатные оси) определяется согласно геометрическим правилам работы с векторами;
  • единица измерения ([\(a_{ср}\)] = [\(\frac{м}{с^2}\)]).
Участки траектории \(AB\), \(AD\) И \(AE\) (рис. 1) характеризуются, соответственно, средними ускорениями \(\vec{a_{3}}\), \(\vec{a_{2}}\), \(\vec{a_{1}}\).
 
\(AB\)
\(AD\)
\(AE\)
\(\vec{a_{3}}\) \(=\) \(\frac{\Delta{\vec{v_3}}}{\Delta{t_3}}\)\(\vec{a_{2}}\) \(=\) \(\frac{\Delta{\vec{v_2}}}{\Delta{t_2}}\)\(\vec{a_{1}}\) \(=\) \(\frac{\Delta{\vec{v_1}}}{\Delta{t_1}}\)
 
Если уменьшать неограниченно промежуток времени \(\Delta{t}\), то изменение скорости движения тела в конкретный момент времени характеризуется физическим понятием «мгновенное ускорение» .
a=limΔt0ΔυΔt.
 
Вектор мгновенного ускорения при движении тела по криволинейной траектории представляет векторную сумму компонентов данного вектора, которые направлены по касательной и нормали (перпендикуляр к касательной).
Векторное и скалярное уравнения скорости материальной точки
1)  Общий вид:
  • векторное уравнение — \(\vec{v}\)  \(=\)  \(\vec{v}(t)\);
  • числовые (скалярные) уравнения — \(v_x\)  \(=\)  \(v_x(t)\), \(v_y\)  \(=\)  \(v_y(t)\), \(v_z\)  \(=\)  \(v_z(t)\).
2)  Прямолинейное равноускоренное движение:
  • векторное уравнение — \(\vec{v}(t)\)  \(=\)  \(\vec{v}{_0}\)  \(+\)  \(\vec{a}(t - t_0)\)
где \(\vec{v}{_0}\) — скорость тела в начальный момент времени \({t_0}\), \(\vec{v}(t)\) — скорость тела в произвольный момент
времени \(t\);
  • числовые (скалярные) уравнения  — \(v_x(t)\)  \(=\)  \(v_{0x}\)  \(+\)  \(a_x(t - t_0)\), \(v_y(t)\)  \(=\)  \(v_{0y}\)  \(+\)  \(a_y(t - t_0)\),  
\(v_z(t)\)  \(=\)  \(v_{0z}\)  \(+\)  \(a_z(t - t_0)\).     
  
Графическое изображение зависимости проекции скорости от времени \({v_х}(t)\)
При движении тела с постоянным ускорением проекция скорости изменяется по линейному закону в зависимости от времени \(t\): \(v_x(t)\)  \(=\)  \(v_{0x}\)  \(+\)  \(a_x(t - t_0)\) (рис. 2).
 
 
скорость равноускореннокоп.png
 
 
Рис. 2. График зависимости проекции скорости от времени
  
Значение проекции ускорения по графику определяется как тангенс угла: \(a_x\) \(=\) \(tgα\) \(=\) \(\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}\).
Перемещение
Проекции перемещений при равнопеременном движении в момент времени \(t\) определяются формулами:
\(s_x(t)\)\(=\)\(x(t) - x_0\), \(s_y(t)\)\(=\)\(y(t) - y_0\) , \(s_z(t)\)\(=\)\(z(t) - z_0\).
 
перемещениетреугкоп.png
                            \(A\)
перемещениетрапкоп.png
                            \(B\)
Рис. \(3\). Определение модуля и проекций перемещения по графику зависимости проекции скорости от времени
 
Модуль и проекции перемещения тела определяются графическим способом,
используя график зависимости \(v_x(t)\).
Рисунок \(3\) \(A\) (\(v_0\) \(=\) \(0\))
Рисунок \(3\) \(B\) (\(v_0\) \(≠\) \(0\))
Модуль перемещения определяется как площадь прямоугольного треугольника \(ABC\) с катетами 
\(c\) и \(b\), где \(b\) \(=\) \(t\), \(c\) \(=\) \(at\).
S=12bcS=at22.
Модуль перемещения определяется как площадь трапеции \(ABCD\) с основаниями \(d\) \(=\) \(v_0\), \(b\) \(=\) \(at\) и высотой \(h\) \(=\) \(t\).
S=12b+dhS=υ0t+at22.
Проекция перемещения: \(s_x\)  \(=\)  \(S\).
Проекция перемещения: \(s_x\)  \(=\)  \(S\).
Примечание: если график проекции скорости состоит из участков, где площадь трапеции имеет отрицательное значение (например, \(s_{x1}\)  \(>\)  \(0\), \(s_{x2}\)  \(<\)  \(0\)), то модуль перемещения тела равен: s=sx1+sx2.
Источники:
Рис. 1. Перемещения тела при криволинейном движении. © ЯКласс.
Рис. 2. График зависимости проекции скорости от времени. © ЯКласс.
Рис. 3. Определение модуля и проекций перемещения по графику зависимости проекции скорости от времени. © ЯКласс.