Теория:

Следствия из аксиом
1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, притом только одну.
Taisne_punkts.png
 
Доказательство:
1) рассмотрим прямую \(a\) и точку \(A\), которая не находится на этой прямой.
2) На прямой \(a\) выберем точки \(B\) и \(C\).
3) Так как все \(3\) точки не находятся на одной прямой, из второй аксиомы следует, что через точки \(A\), \(B\) и \(C\) можно провести одну-единственную плоскость α.
4) Точки прямой \(a\) — \(B\) и \(C\) — лежат на плоскости α, поэтому из третьей аксиомы следует, что плоскость проходит через прямую \(a\) и, конечно, через точку \(A\).
 
 
2. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, притом только одну.
Taisnes_krust.png
 
Доказательство:
1) рассмотрим прямые \(a\) и \(b\), которые пересекаются в точке \(C\).
2) Выберем точку \(A\) на прямой \(a\) и точку \(B\) на прямой \(b\) так, чтобы эти точки не совпадали с точкой \(C\).
3) Из второй аксиомы следует, что через точки \(A\), \(B\) и \(C\) можно провести одну-единственную плоскость α. В таком случае прямые \(a\) и \(b\) находятся на плоскости α (судя по третьей аксиоме).
 
Пример:
даны пересекающиеся отрезки \(AC\) и \(BD\). Доказать, что все отрезки \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) находятся на одной плоскости.
Nogriezni_krust.png
Решение:
1) из второй теоремы следует, что через \(AC\) и \(BD\) можно провести только одну плоскость, которую обозначим α. Это значит, что точки \(A, B, C\) и \(D\) принадлежат плоскости α.
2) Из третьей аксиомы следует, что все точки прямых \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\) принадлежат плоскости. Поэтому все соответствующие отрезки лежат на плоскости α.