Теория:
1. Параллельные прямые в пространстве
Две прямые в пространстве называются параллельными, если лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Параллельность прямых \(a\) и \(b\) обозначается так: .
Teорема 1. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

Доказательство:
1. так как прямые \(a\) и \(b\) параллельны, из определения следует, что через них можно провести плоскость .
2. Чтобы доказать, что такая плоскость только одна, на прямой \(a\) обозначаем точки \(B\) и \(C\), а на прямой \(b\) — точку \(A\).
3. Так как через три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести только одну плоскость (\(2\) аксиома), то является единственной плоскостью, которой принадлежат прямые \(a\) и \(b\).
Теорема 2. Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой, и притом только одну.

Доказательство:
1. через данную прямую \(a\) и точку \(M\), которая не лежит на прямой, проводится плоскость .
2. Такая плоскость только одна (т. к. через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну).
3. А в плоскости через точку \(M\) можно провести только одну прямую \(b\), которая параллельна прямой \(a\).
Теорема 3. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

(1 рис.)

(2 рис.)
Доказательство:
рассмотрим две параллельные прямые \(a\) и \(b\) и допустим, что прямая \(b\) пересекает плоскость в точке \(M\) (1 рис.).
Из \(1\)-й теоремы известно, что через параллельные прямые \(a\) и \(b\) можно провести только одну плоскость .
Так как точка \(M\) находится на прямой \(b\), то \(M\) также принадлежит плоскости (2 рис.). Если у плоскостей и есть общая точка \(M\), то у этих плоскостей есть общая прямая \(c\), которая является прямой пересечения этих плоскостей (\(4\) аксиома).
Прямые \(a\), \(b\) и \(c\) находятся в плоскости .
Если в этой плоскости одна из параллельных прямых \(b\) пересекает прямую \(c\), то вторая прямая \(a\) тоже пересекает \(c\).
Точку пересечения прямых \(a\) и \(c\) обозначим за \(K\).
Так как точка \(K\) находится на прямой \(c\), то \(K\) находится в плоскости и является единственной общей точкой прямой \(a\) и плоскости .
Значит, прямая \(a\) пересекает плоскость в точке \(K\).
Теорема 4. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Дано: .
Доказать: .
Доказательство:
выберем точку \(M\) на прямой \(b\).
Через точку \(M\) и прямую \(a\), которая не содержит эту точку, можно провести только одну плоскость (через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость).
Возможны два случая:
1) прямая \(b\) пересекает плоскость ; или 2) прямая \(b\) находится в плоскости .
Пусть прямая \(b\) пересекает плоскость .
Значит, прямая \(c\), которая параллельна прямой \(b\), тоже пересекает плоскость . Так как , то получается, что \(a\) тоже пересекает эту плоскость. Но прямая \(a\) не может одновременно пересекать плоскость и находиться в плоскости . Получаем противоречие, следовательно, предположение, что прямая \(b\) пересекает плоскость , является неверным.
Значит, прямая \(b\) находится в плоскости .
Теперь нужно доказать, что прямые \(a\) и \(b\) параллельны.
Пусть у прямых \(a\) и \(b\) есть общая точка \(L\).
Это означает, что через точку \(L\) проведены две прямые \(a\) и \(b\), которые параллельны прямой \(c\). Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые \(a\) и \(b\) не имеют общих точек.
Так как прямые \(a\) и \(b\) находятся в одной плоскости , и у них нет общих точек, то они параллельны.
Всё множество прямых в пространстве, которые параллельны данной прямой, называется пучком параллельных прямых.
Выводы:
1) любые две прямые пучка параллельных прямых параллельны между собой.
2) Параллельности прямых в пространстве присуща транзитивность:
Пример:
одна сторона параллелограмма пересекает плоскость. Докажите, что прямая, которая содержит противоположную сторону параллелограмма, тоже пересекает эту плоскость.

Допустим, что у параллелограмма \(ABCD\) сторона \(AD\) пересекает плоскость в точке \(K\).
Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны, то, согласно третьей теореме, прямая, которая содержит сторону \(CD\), тоже пересекает плоскость .
2. Параллельность прямой и плоскости
1) прямая лежит (находится) в плоскости;
2) прямая и плоскость имеют только одну общую точку (прямая и плоскость пересекаются);
3) прямая и плоскость не имеют общих точек.
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Теорема 5 «Признак параллельности прямой и плоскости».
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости.
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости.

Доказательство:
доказательство проведём от противного. Пусть \(a\) не параллельна плоскости , тогда прямая \(a\) пересекает плоскость в некоторой точке \(A\). Причём \(A\) не находится на \(b\), так как . Согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые \(a\) и \(b\) — скрещивающиеся.

доказательство проведём от противного. Пусть \(a\) не параллельна плоскости , тогда прямая \(a\) пересекает плоскость в некоторой точке \(A\). Причём \(A\) не находится на \(b\), так как . Согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые \(a\) и \(b\) — скрещивающиеся.

Мы пришли к противоречию. Так как согласно данной информации , они не могут быть скрещивающимися. Значит, прямая \(a\) должна быть параллельна плоскости .
Обрати внимание!
Следующие две теоремы очень часто используются при решении задач.
Теорема 6.
Если плоскость проходит через данную прямую \(a\), параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость по прямой \(b\), то .
Если плоскость проходит через данную прямую \(a\), параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость по прямой \(b\), то .

Обрати внимание!
Прямую \(b\) иногда называют следом плоскости на плоскости .
Теорема 7.
Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости , то другая прямая либо параллельна этой плоскости, либо лежит в этой плоскости.
Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости , то другая прямая либо параллельна этой плоскости, либо лежит в этой плоскости.