1. Параллельность прямых, прямой и плоскости

1. так как прямые \(a\) и \(b\) параллельны, из определения следует, что через них можно провести плоскость $\mathrm{\alpha }$.

2. Чтобы доказать, что такая плоскость только одна, на прямой \(a\) обозначаем точки \(B\) и \(C\), а на прямой \(b\) — точку \(A\).

3. Так как через три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести только одну плоскость (\(2\) аксиома), то $\mathrm{\alpha }$ является единственной плоскостью, которой принадлежат прямые \(a\) и \(b\).

 

1. через данную прямую \(a\) и точку \(M\), которая не лежит на прямой, проводится плоскость $\mathrm{\alpha }$.

2. Такая плоскость только одна (т. к. через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну).

3. А в плоскости $\mathrm{\alpha }$ через точку \(M\) можно провести только одну прямую \(b\), которая параллельна прямой \(a\).

 

  

рассмотрим две параллельные прямые \(a\) и \(b\) и допустим, что прямая \(b\) пересекает плоскость $\mathrm{\alpha }$ в точке \(M\) (1 рис.).

 

Из \(1\)-й теоремы известно, что через параллельные прямые \(a\) и \(b\) можно провести только одну плоскость $\mathrm{\beta }$.

 

Так как точка \(M\) находится на прямой \(b\), то \(M\) также принадлежит плоскости $\mathrm{\beta }$ (2 рис.). Если у плоскостей $\mathrm{\alpha }$ и $\mathrm{\beta }$ есть общая точка \(M\), то у этих плоскостей есть общая прямая \(c\), которая является прямой пересечения этих плоскостей (\(4\) аксиома).

 

Прямые \(a\), \(b\) и \(c\) находятся в плоскости $\mathrm{\beta }$.

Если в этой плоскости одна из параллельных прямых \(b\) пересекает прямую \(c\), то вторая прямая \(a\) тоже пересекает \(c\).

 

Точку пересечения прямых \(a\) и \(c\) обозначим за \(K\).

Так как точка \(K\) находится на прямой \(c\), то \(K\) находится в плоскости $\mathrm{\alpha }$ и является единственной общей точкой прямой \(a\) и плоскости $\mathrm{\alpha }$.

Значит, прямая \(a\) пересекает плоскость $\mathrm{\alpha }$ в точке \(K\).

 

Дано: $a\parallel c\text{и}b\parallel c$.

Доказать: $a\parallel b$.

выберем точку \(M\) на прямой \(b\).

Через точку \(M\) и прямую \(a\), которая не содержит эту точку, можно провести только одну плоскость $\mathrm{\alpha }$ (через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость).

 

Возможны два случая:

1) прямая \(b\) пересекает плоскость $\mathrm{\alpha }$; или 2) прямая \(b\) находится в плоскости $\mathrm{\alpha }$.

 

Значит, прямая \(c\), которая параллельна прямой \(b\), тоже пересекает плоскость $\mathrm{\alpha }$. Так как $a\parallel c$, то получается, что \(a\) тоже пересекает эту плоскость. Но прямая \(a\) не может одновременно пересекать плоскость $\mathrm{\alpha }$ и находиться в плоскости $\mathrm{\alpha }$. Получаем противоречие, следовательно,  предположение, что прямая \(b\) пересекает плоскость $\mathrm{\alpha }$, является неверным.

 

Теперь нужно доказать, что прямые \(a\) и \(b\) параллельны.

Пусть у прямых \(a\) и \(b\) есть общая точка \(L\).

Это означает, что через точку \(L\) проведены две прямые \(a\) и \(b\), которые параллельны прямой \(c\). Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые \(a\) и \(b\) не имеют общих точек.

Так как прямые \(a\) и \(b\) находятся в одной плоскости $\mathrm{\alpha }$, и у них нет общих точек, то они параллельны.

 

 

Согласно аксиомам, если две точки прямой находятся в некоторой плоскости, то прямая лежит в этой плоскости. Отсюда следует, что возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве: