Теория:

Sliedes-6.jpg
 
Две прямые, лежащие на одной плоскости, либо имеют только одну общую точку, либо не имеют ни одной общей точки.
В первом случае говорят, что прямые пересекаются, во втором случае — прямые не пересекаются.
 
На плоскости две прямые \(a\) и \(b\), которые не пересекаются, называются параллельными и обозначаются ab.
Обрати внимание!
Если рассмотреть прямые, которые не лежат в одной плоскости, то возможна ситуация, что прямые не пересекаются, но они и не параллельны.
Cube.png
 
Один из признаков параллельности прямых на плоскости гласит:
1. признак. Если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
Lenku_veidi_perp.png
Этот признак легко доказать, если вспомнить, что к прямой в плоскости из любой точки можно провести только один перпендикуляр.
 
Допустим, что прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, не параллельны, то есть имеют общую точку.
 
Lenku_veidi_perp1.png
Получается противоречие — из одной точки \(H\) к прямой \(c\) проведены два перпендикуляра. Такое невозможно, поэтому две прямые на плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.
 
Для рассмотрения других признаков надо ознакомиться с некоторыми видами углов:
1) вспомним, что нам известны названия и свойства углов, которые образуют две пересекающиеся прямые.
Lenku_veidi_teor2.png
 
Вертикальные углы равны: 1=3;2=4.
Сумма смежных углов 1800:1+2=2+3=3+4=4+1=1800.
 
2) Если две прямые пересекает третья прямая, то углы называются так:
Lenku_veidi_teor1.png
накрест лежащие углы: 3 и 5;2 и 8;
соответственные углы: 1 и 5;4 и 8;2 и 6;3 и 7;
односторонние углы: 3и8;2и5.
Эти углы помогут определить параллельность прямых \(a\) и \(b\). Итак, другой признак параллельности прямых на плоскости гласит:
 
2. признак. Если при пересечении двух прямых третьей секущей:
накрест лежащие углы равны, или
соответственные углы равны, или
сумма односторонних углов равна \(180°\) — то прямые параллельны.
Lenku_veidi_paral1.png
 
Докажем этот признак.
 
Сначала докажем: если прямые \(a\) и \(b\) пересекает прямая \(c\), и накрест лежащие углы равны, то прямые \(a\) и \(b\) параллельны.
 
Например, если 3=5, то ab.
Lenku_veidi_paral11.png Lenku_veidi_paral11_atb.png
 
1) Отметим точки \(C\) и \(D\), в которых прямые \(a\) и \(b\) пересекает прямая \(c\). Через серединную точку \(K\) этого отрезка проведём перпендикуляр \(AB\) к прямой \(a\).
2) CKA \(=\) DKB как вертикальные углы, 3 \(=\) 5 \(=\) α, \(CK = KD\) — значит, ΔCKA \(=\) ΔDKB по признаку о стороне и двум прилежащим к ней углам.
3) Очевидно, если ΔCKA прямоугольный, то и ΔDKB прямоугольный, и \(AB\) перпендикулярен к прямой \(b\).
4) Согласно первому доказанному признаку прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны. 
5) В случае, когда равны соответственные углы, имеем в виду, что вертикальные углы равны, и доказываем, как в пунктах 1) — 4).
Lenku_veidi_paral13.png Lenku_veidi_paral13_atb.png
 
6) В случае, когда сумма односторонних углов равна 180°, имеем в виду, что сумма смежных углов тоже равна \(180°\), и используем в доказательстве пункты 1) — 4). 
Lenku_veidi_paral12.png Lenku_veidi_paral12_atb.png
 
3. Признак параллельных прямых действует и как свойство параллельных прямых.
При пересечении двух параллельных прямых третьей секущей:
- накрест лежащие углы равны,
- соответственные углы равны,
- сумма односторонних углов равна \(180°\).
О других свойствах параллельных прямых — в следующем пункте теории.