Теория:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Lenki_malas1.png
 
Доказательство
 
Пусть дан треугольник \(ABC\), в котором \(AB>AC\). Необходимо доказать, что  \(C >\)  \(B\).
 
На стороне \(AB\) отметим точку \(D\) такую, что \(AD=AC\). Это возможно, ведь по условию \(AC < AB\).
 
Обозначим \(ACD=\) \(1\), \(ADC=\) \(2\). Точка \(D\) лежит между \(A\) и \(B\), поэтому \(1<\)\(C\).
Треугольник \(ADC\) — равнобедренный, углы при основании равны,  \(1 =\)  \(2\). Значит,  \(2<\)\(C\).
 
Угол \(2=\) \(BCD +\) \(B\) как внешний угол треугольника \(BCD\), значит  \(2 >\)  \(B\). Но \(2<\)\(C\), поэтому  \(C >\)  \(B\).
 
Справедлива и обратная теорема.
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
 
Следствия
 
Следствие 1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
 
Следствие 2. Если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.
 
Следствие 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
Неравенство треугольника
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Lenki_malas2.png
 
Доказательство
 
Рассмотрим треугольник \(ABC\) и докажем, что \(AB < AC + BC\).
 
Продолжим сторону \(AC\) и отложим отрезок \(CD = BC\).
Треугольник \(BCD\) — равнобедренный, следовательно,  \(1 = \)  \(2\).
В треугольнике \(ABD\) очевидно, что  \(ABD >\)  \(1\), а это значит, что  \(ABD >\)  \(2\).
 
Так как против большего угла лежит большая сторона, \(AB < AD\), а \(AD = AC + BC\), значит, \(AB < AC + BC\).
 
Следствие 4. Для любых трёх точек \(A\), \(B\) и \(C\), не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:
\(AB < AC + CB,  AC < AB + BC,  BC < AB + AC\).